Strass函数(高中13个函数的图像汇总)

对于一个数学家来说，30到40岁无疑是他事业的黄金时期。很难想象，在这段时间里，如果他只是作为一个业余爱好者学习数学，他会取得巨大的成就。纵观数学史，绝大多数数学家都是二三十岁成名，只有极少数数学家在接近40岁时才出名。然而，在数学史上，确实存在这样一位大器晚成的人，他就是被誉为“现代分析之父”的德国数学家威尔斯特拉斯。

维尔斯特拉斯(1815~1897)出生于德国西北部的霍斯泰因斯菲尔德。他的父亲是一名海关职员，有一定的文化素质，年轻时当过老师。但是，他的父亲对孩子非常武断，从不考虑他们的感受或利益，只希望他们按照自己的意愿行事，甚至不让孩子结婚。因此，维尔斯特拉斯一生未婚。14岁那年，他进入了附近的一所预备学校，学习天赋一下子显露出来。他每年至少获得七个奖学金，其中数学和语言学是最好的。由于他出色的数学能力，他还在一家火腿黄油店兼职做会计。但是独断专行的父亲对此毫不在意。维尔斯特拉斯中学毕业后，直接送他去波恩大学学习法律。原因是让他将来在普鲁士政府工作。

维尔斯特拉斯对法律不感兴趣，甚至厌恶法律。来到波恩后，他很少去上课。相反，他每天准时出现在酒吧里。喝酒、抽烟、说话是每天的必修课。凭借着自己强大的语言天赋和逻辑思维能力，威尔特拉斯成为了这里的知名人物。然而，当他在1838年夏天回到家时，威尔斯特拉斯只带回了一个装满啤酒的大肚子，他没有拿到任何文凭。这让他的家人非常生气，因为他们省吃俭用让威尔特拉斯上大学，但他什么也没带回来。尽管如此，威尔特拉斯并没有放弃数学。抽烟喝酒后，他仔细阅读了亚伯和拉普拉斯的作品。

正当威尔斯特拉斯一家不知所措的时候，威尔斯特拉斯在海关的老朋友建议他的儿子在附近的蒙斯特学院学习两年，这样他就可以找到一份教师的工作。迫于生计，劳伟只能同意。这段经历被认为是韦尔斯特拉人生的重要转折点，否则我们可能会失去一位重要的数学大师。千里马维尔斯特拉斯在学院里遇到了伯乐-数学教学教授戈德曼。古德是函数理论，尤其是椭圆函数的热心研究者。他从函数展开成幂级数的观点来研究椭圆函数。然而，他的研究很难听到，也没有引起太大的反响。然而，魏尔斯特拉斯看到了幂级数的力量，这成为他一生研究工作的工具。晚年的威尔斯特拉斯回忆起自己的分析工作，说“除了幂级数什么都没有”。

在与哥德尔曼一起学习椭圆函数后，威尔特拉斯不得不面对教师资格考试和面试。经过长期思考，他写了一篇关于如何将椭圆函数展开成幂级数的论文，这无疑是教师资格考试史上最重要的一篇论文。古德对此给予了高度评价，并在鉴定报告中建议，当局应该将他送到大学而不是中学任教，否则他的才华将会被浪费。不幸的是，当局忽视了戈德曼的建议，所以威尔特拉斯从26岁开始在偏远的村庄当了15年的中学老师！

在西普鲁士的一个偏远村庄，威尔特拉斯成为了一所大学预科学校的老师。他不仅教数学和物理，还教地理和德语。三年后，当局认定这些工作对高大强壮的威尔斯特拉斯来说是不够的，于是给他增加了一份工作，教孩子们体育。戈德曼打开威尔特拉斯的数学之门后，他已经陶醉其中。白天繁重的教学工作不能抑制他的热情。每天深夜，他开始学习数学。

由于通讯和交通极其不发达，维尔斯特拉斯与外界的联系很少。他唯一的学习渠道就是阿贝尔的作品，这也是他后来推崇阿贝尔的原因。1841年，威尔特拉斯在柯西之前发现了复变函数论中重要的柯西积分定理。然而，由于当时他们之间的差距和威尔特拉斯未知的成就，这样的成就自然属于柯西。第二年，威尔特拉斯独立创造了理解微分方程租金的方法，方法严谨成熟，但他没有公开发表，因为他真正想解决的问题只有椭圆函数。

椭圆弧长的求解问题导致椭圆圆积分的研究无法用初等函数表示，因此研究起来非常困难。真正的突破是后来阿贝尔实现的，他考虑了椭圆积分的反函数——椭圆函数。雅各布后来发展了阿贝尔的理论，但他也没有真正找到椭圆函数的真正含义。在阿贝尔的带领下，威尔特拉斯奋力向顶峰进发。他白天没有时间，不得不通宵学习。这样的研究是孤独的，但这丝毫没有动摇他的决心。1848年，维尔斯特拉斯得到了一个小小的提升。他被调到一所更好的预备学校教书，幸运的是，这里的图书馆书籍相当齐全。

1853年的暑假，威尔斯特拉斯回到了久违的家。他的父亲老了，他的弟弟妹妹也长大了。也是在这个假期，他在椭圆函数的研究上取得了重要进展，就等着迈出第一步。回到学校后，他仍然夜以继日地学习。终于，有一天早上，学生的吵闹声惊动了老校长。原来，韦埃斯特拉已经两天没来上课了，吓得校长直接去他的住处查看，才知道他已经学了两天两夜，不知道时间。一篇关于阿贝尔函数划时代意义的论文就这样被一个不知名的中学老师完成了！

威尔斯特拉斯用他独特的思想和完整的方法改写和美化了椭圆函数论。他决定以亚伯为榜样，把它寄给柏林的《克莱尔杂志》出版，他相信这会引起轰动。克莱尔杂志没有让他失望。在1854年的第47卷中，威尔斯特拉斯的这篇论文全文发表在杂志上。这是《克莱尔杂志》对数学发展的又一重大贡献。这篇论文一发表，就引起了很大的轰动。不仅仅是一个不知名的偏远乡村老师的这么伟大的杰作，更是一个大规模的工程。本文包含了大量的创造性成果，直接将椭圆函数理论的研究推向了一个新的高度。作为椭圆函数理论的发祥地之一，柯尼斯堡大学非常激动。雅各布的继任者理查德·劳特亲自来到威尔特拉斯的学校，授予他学校的荣誉博士学位。教育部、杂志编辑等都来祝贺。一旦出名，世人皆知！

1857年，在数学界的不懈努力下，威尔特拉斯来到柏林工业大学(后调任柏林大学教授直至去世)担任数学教授，同年当选为柏林科学院院士。这时，威尔特拉斯已经42岁了。对大多数数学家来说，黄金时代已经过去，但对他来说，这可能才刚刚开始。

在柏林期间，威尔斯特拉斯完成了数学史上的又一伟大创举，即严谨分析(微积分)的伟大工作。魏尔斯特拉斯在数学界有一个名字叫“流言终结者”，因为他引用了很多反例来说明一些直观的观点是错误的，其中最著名的就是构造了“处处连续，处处不可微”的函数，而这些反例的重要性就在于突出了严格的理论基础对数学理论的重要性。在严谨的分析过程中，应该说柯西和维尔斯特拉斯扮演了最重要的角色，维尔斯特拉斯的结果更接近现代形式，也更成功。比如我们非常熟悉的“-”语言，完全出自魏尔斯特拉斯之手。同时，他还提出了许多新的概念和定理，如一致收敛等，并严格重新定义了极限、连续性和导数、函数逼近定理等概念。这些成就极大地造就了今天教科书中完善的数学分析体系。我们可以用希尔伯特的评价来总结他的成就:

“凭借他的批判精神和深刻的洞察力，威尔特拉斯为数学分析奠定了坚实的基础。通过澄清最小值、最大值、函数、导数等概念。，他消除了微积分中仍然出现的各种错误提法，清除了关于无穷和无穷小的各种混淆概念，果断地克服了因无穷和无穷小的朦胧思想而产生的困难。今天，分析的和谐、可靠和完善程度本质上是由于威尔斯特拉斯的数学活动”。

另一方面，在复变函数论中，魏尔斯特拉斯与柯西、黎曼处于三足鼎立的局面。柯西开创了复变函数的积分理论，而黎曼借助深奥的黎曼映射定理开创了复变函数的几何理论。维尔斯特拉斯利用幂级数定义了复函数的解析性，从而推导出了单复函数的整体理论。结果现在已经成为复变函数教材的主要内容，可以说做出了很大的贡献。庞加莱评论说:“黎曼的方法首先是一种发现的方法，而维尔斯特拉斯的方法首先是一种证明的方法。”

魏尔斯特拉斯一生中最伟大的数学成就集中在椭圆函数、数学分析和复变函数理论上。此外，他在二次型理论、变分理论、函数逼近理论等方面都取得了很大的成就，甚至研究了天体力学中的N体问题。

维尔斯特拉斯不仅数学研究优秀，在数学教育方面也很有名。在农村中学期间，他写了关于数学教育的论文。在大学里，除了研究，威尔特拉斯在教人方面也很有说服力，不知疲倦。许多学生来到这里，包括后来瑞典现代数学的创始人塔米·勒夫勒、伟大的女数学家、历史上第一位女数学博士柯瓦列夫斯卡娅等著名人物。维尔斯特拉斯的性格也很高尚，这与他的同事柯西形成了鲜明的对比。他从不计较个人得失，经常把自己的手稿借给学生参考，包括一些未发表的成果，所以偶尔有人抄袭他的成果，但他并不太在意。后来，他装满手稿的手提箱被盗后，他真的对这样的行为表示了极大的愤怒。

即使在生命的最后几年，威尔特拉斯也没有停止对数学的思考，尽管他已经衰老了。此时，他的学生已经遍布欧洲乃至美国，他在数学教育史上的影响也是罕见的，深刻影响了下一个20世纪分析乃至数学的发展。再加上他的传奇经历，整个德国都把他视为民族骄傲和伟人。威尔特拉斯以其深厚的数学研究、优秀的数学教育和伟大的品德，充分赢得了世界的尊重和敬仰，在数学史上留下了光辉的一页，值得我们所有人的致敬。

1897年2月19日，“现代分析学之父”威尔特拉斯走到了生命的尽头，但他的成就和魅力必将在慧泽追溯到后世...