陈景润哥德巴赫猜想(高中数学66秒杀技巧模型)

哥德巴赫猜想自1742年提出以来，困扰了数学界三个世纪。作为数论领域最古老的未解难题之一，哥德巴赫猜想突然成为一面旗帜，激励着无数数学家走向真理的彼岸。

对于很多人来说，知道哥德巴赫猜想离不开两个人，陈景润和徐迟。后者著名的报告文学让很多人知道，有一位中国数学家，用几麻袋微积分纸，推进了哥德巴赫猜想的证明。

但是陈景润在这方面的进步有多大呢？先说哥德巴赫猜想本身。

缘起:质数引起的悬案

大于1的自然数，如果不能被除1以外的其他自然数和它本身整除，则称为素数(也叫质数)；如果大于1的自然数不是质数，则称为合数。

今天的故事从这类被称为“质数”的数字开始。早在古埃及，人们似乎就已经意识到质数的存在[1]。古希腊的数学家们早就开始了对素数的系统研究。比如欧几里德已经证明了无穷多个素数的存在性[2]和算术基本定理(即正整数唯一分解定理，指出任何大于1的性质都可以唯一地写成几个素数的乘积)[3]。厄拉多塞的筛子规则提供了一种在一定范围内找出所有素数的可行方法[4]。

图片:维基百科

古希腊数学家，“几何之父”欧几里得(左)和数学家、地理学家和天文学家厄拉多塞(右)。前者在《几何原本》一书中提出了五个公设，成为欧洲数学的基础。后者设计了经纬度系统，计算了地球的直径。

图片:维基百科

Etosterni筛分法筛分法的原理非常简单。计算器从2开始，筛选出每个质数的倍数，记录为合数。Etosterni筛法是列出所有小素数的最有效方法之一。

随着对素数认识的深入，人们发现了素数的许多奇怪性质。1742年6月7日，普鲁士数学家克里斯蒂安·歌德巴赫给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉写了一封信，信中提到了他关于素数的发现:任何大于2的整数都可以写成三个素数之和。值得一提的是，当时欧洲数学界一致认为1也是一个素数。所以，改成现代数学语言，就是“任何大于5的整数都可以写成三个素数之和”。

图片:维基百科

偶数表示为两个素数之和。到2012年4月，数学家验证了4乘10的18次方以内的偶数，没有发现哥德巴赫猜想的反例[5]。

哥德巴赫无法证实这个发现的普遍性，所以他希望欧拉能够证明。欧拉在6月30日的回信中证实了哥德巴赫的发现，并给出了该猜想的等价版本:

任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。

这也是哥德巴赫猜想的通常表述，也称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。欧拉认为这个猜想可以算是一个定理，可惜他无法证明。

哥德巴赫书信手稿图片来源:www.mscs.dal.ca

从“强哥德巴赫猜想”中，我们可以推导出:

任何大于5的奇数都可以写成三个素数之和。

这也被称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。当然，如果能证明“强哥德巴赫猜想”，“弱哥德巴赫猜想”也就迎刃而解了。

沉默:不可逾越的大山

哥德巴赫猜想的难度可以和任何已知的数学问题相提并论。

高德菲·哈罗德·哈代

哥德巴赫猜想一直受到业余数学家的青睐。一个重要原因是它的表达非常简洁易懂。然而，猜想的证明实际上是极其困难的。自1742年该猜想正式提出以来的160多年里，数学家们一直在苦苦寻找，却没有取得任何实质性的进展。更多的时候，他们只是提出一些等价命题或者从数值上验证猜想。

1900年，著名数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了著名的二十三个问题。第八个问题涉及关于素数的三个猜想:黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想。时至今日，虽然上述三个猜想的研究较20世纪初有了很大的进步，甚至证明了弱化，但三个问题本身并没有得到解决。

图片:奥伯沃尔法赫图片集

参加学术会议的希尔伯特。1900年，希尔伯特在巴黎举行的第二届国际数学家大会上发表了题为《数学问题》的演讲，提出了23个最重要的数学问题。希腊希尔伯特问题在相当一段时间内引导了世界数学研究的方向，有力地推动了20世纪数学的发展。在许多数学家的努力下，希尔伯特的大部分问题在20世纪得到了解决。

然而，这160多年的探索并非没有结果。由于欧拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿达玛等数学家在数论和函数论领域的突破性研究，为以哥德巴赫为代表的数论研究奠定了坚实的基础。

突破:突破夜晚的黎明空

是数学科学的女王，而数论是数学的女王。

——卡尔·弗里德里希·高斯

问题真正实质性的进展出现在20世纪20年代。当时有两种代表性的思想，一种是英国数学家哈代和利特伍德在1923年的论文中使用的哈代-利特伍德圆法[6]，另一种是挪威数学家维果·布伦使用的布朗筛法[7，8]。

图片:维基百科，圣路易斯大学

哈迪(左)、利特伍德(中)和布朗(右)。英国数学家哈代是20世纪英国分析学派的代表人物。他的研究对后来的分析和数论的发展有着深远的影响。李，英国数学家，研究领域涉及数论和数学分析，与哈代有着35年的合作。布朗，挪威数学家，他在数论领域的工作极大地推动了哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的研究。

借助于上述方法，哈代和利特伍德在1923年的论文中证明了“在广义黎曼猜想成立的前提下，每一个足够大的奇数都可以表示为三个素数之和，几乎每一个足够大的偶数都可以表示为两个素数之和”[6]这里的“广义黎曼猜想”是指用狄利克雷L函数代替黎曼猜想中的黎曼函数，其他表达式不变。哈代和利特伍德的工作使哥德巴赫猜想的证明向前迈进了一大步。

利用上述方法，布朗在1919年证明了“每一个足够大的偶数都可以写成两个数之和，而这两个数中的每一个都是不超过9个素数因子的乘积”[7]，因此上述结论也被记为“9+9”。按照布朗的思路，如果最终能把质因数的个数减少到一个，也就是最终证明“1+1”，那么就意味着证明了哥德巴赫猜想。

冲刺:鼓舞人心的号角

陈景润的每一份工作，仿佛都是在喜马拉雅山之巅行走。

——安德烈·维尔

上述两种思想在20世纪得到了极大的发展。这也大大促进了哥德巴赫猜想和弱哥德巴赫猜想的证明。1937年，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫在弱哥德巴赫猜想的研究中取得了重大突破[10]。他在圆法的基础上，去掉了哈代和利特伍德证明中对广义黎曼猜想的依赖，充分证明了“足够大小的奇素数可以写成三个素数之和”，即“哥德巴赫-维诺格拉多夫定理”。而维诺格拉多夫无法给出“足够大”的下限，因此寻找这个下限就成了弱哥德巴赫猜想的主要研究方向。2013年，秘鲁数学家Harald Andrs Helfgott成功地将维诺格拉多夫“足够大”的下限降低到10的29次方左右，并用计算机验证了其下的所有奇数，所有结果无一例外地满足猜想，从而最终完成了弱哥德巴赫猜想的证明[11]。

图片:维基百科

维诺格拉多夫(左)和哈罗德·霍戈特(右)。伊万·维诺格拉多夫(Ivan vinogradov，Matveyevich)，苏联解析数论专家，Szylov数学研究所所长。哈罗德·霍夫戈特，秘鲁数学家，法国国家科学院和巴黎师范大学研究员。

相比较而言，研究强哥德巴赫猜想相对更困难。然而，自20世纪上半叶以来，数学家们沿着布朗筛方法的研究思路取得了巨大的进步。布朗证明“9+9”后不久，1924年，德裔美国数学家拉德马赫成功证明“7+7”[12]，1932年，德国数学家埃斯特曼证明“6+6”[13]，苏联数学家亚历山大希塔。

Rademacher图片来源:数学基因项目

埃斯特曼图片来源:牛津大学出版社

布朗筛法较以往的数论方法而言有很强的组合数学特征，应用起来比较复杂。所以在研究的过程中，数学家不断对原有的筛法进行改进。考虑到以往的证明中，总是将命题"a+b"与对一个筛函数的估计直接联系起来，得到的结果相对较弱。1941年，库恩（P. Kuhn）提出了"加权筛法"，借此我们可以在同样的筛函数上、下界估计的基础上得到强结果。例如库恩于1954年就给出了"a+b