指数域(指数函数的定义域和值域)

指数函数的定义

一般将函数(a为常数且a>0，a≠1)称为指数函数，函数的定义域为r。

常见指数函数的底数(e为自然常数，即等于)，即。

公式中的自变量是一个实数。后来数学家把自变量的范围扩展到复数域，指数函数变成了，这里的自变量是复数。在当时，这就是著名的欧拉恒等式。

那么，当自变量是一个矩阵时会发生什么呢？

它是指数矩阵的指数函数。它是如何产生的？

让我们假设有这样一组参数微分方程:

不难找到一组特解为圆的方程组:

上述微分方程以矩阵形式表示如下:

也就是

在哪个矩阵中

该等式进一步表示为

将其视为一个变量，用分离变量法求解微分方程得到

也就是

就这样。

也就是

引入值后，它就变成了

我们得到一个非常简洁的指数函数，它的指数是一个矩阵！

如何理解指数是矩阵的指数函数？

通常理解为，可以理解为，。如果指数不是整数而是有理数，指数可以表示为分数。如果指数是非理性的，如何理解？

这时，我们需要使用泰勒级数作为超级数学工具:

这个级数也适用于复数，也就是说

如果这个公式的指数扩展到矩阵，你应该得到

在公式中，它被表示为矩阵的乘积。当它为零时，它是单位矩阵。

让我们根据扩展到矩阵指数的泰勒技术来计算时间值。带入公式中得到

计算以下值，并将其带入上述公式:

在…之中

...

得到

将各项矩阵相加，进一步获得

我们发现上式右边的2×2矩阵正好对应正弦和余弦的泰勒公式:

这样，我们可以推断

制造，然后得到。

也就是

这个公式等同于欧拉恒等式

完全对称:

单位矩阵，对应实数或复数域；

矩阵对应于虚数单位。因为，我们发现，那就是；

如果是，那么(矩阵的平方是负单位矩阵！！！)，矩阵是一个虚拟的单位矩阵。然后我们得到矩阵场的一个非常优美的欧拉恒等式:

此外，和具有相似的属性:

同样，作为参考，我们可以从上一条中得出结论:

修改矩阵场的欧拉公式:

因为:

,

在这里，我们不得不惊叹数学的完美！！！

用GeoGebra验证矩阵指数的泰勒公式，结果是正确的:

我们试图找出以下各项的价值:

氪001

再次检查时，由泰勒公式计算的值:

由上面刚刚导出的欧拉公式计算的值: