负数是自然数吗(不管0是不是自然数)

本文将在自然数系统中引入一种新的运算——减法，并将自然数系统推广到整数系统，并讨论一些相关的性质。本文适合任何学历的读者。

介绍

在上一篇文章中，我们从皮亚诺公理出发定义了自然数集，并讨论了自然数集上的两种闭运算——加法和乘法。参考:

如何证明1+1 = 2？从皮亚诺公理谈自然数

毕竟，加法和乘法的作用是有限的。现在，我们需要引入一种新的运算——减法，而为了让这种运算得到很好的定义，我们需要一个比自然数集更大的集合——整数集。

现在，我们面临一个问题:应该先定义减法还是整数？由于减法是整数集合中的二元运算，从映射的角度来说，没有理由在定义集合之前定义对应关系，所以整数应该比减法早定义。例如，很容易想到用两个自然数来定义一个整数。

如果用的形式来定义一个整数，那么我们需要考虑:

(1)当它们代表相同的整数时，例如；

(2)它们之间如何加减，例如

(3)是否涉及减法的循环定义，因为此时还没有定义减法。

对于(1)，我们只需要利用和是等价的这一事实。对于(2)，我们还是可以用一些加法和乘法的定律来定义。对于(3)，为了暂时避免减法，我们暂时把这个二元运算写在形式上，它最终的本质是减法，但我们暂且假装不知道；等到正式定义了减法，再用""代替" "。

整数的定义

定义(整数):整数是a - b形式的数，其中A和B是自然数；两个整数相等，即a - b = c - d，当且仅当A+D = C+B .我们用来表示整数的集合。

在这个定义下，我们理解为和实际上是同一个整数。这是因为。这个定义有个小问题。比如我们知道“”是整数，但是看起来不像“”。所以在这个定义下，“”还不是整数，这个后面会纠正。

等式是否合理？

上面定义中的等式是否成立？等式是同一类型的两个对象之间的一种关系。如何定义两个对象之间的相等性取决于这两个对象所在的类的描述。出于逻辑原因，该等式应遵循以下四个公理:

(自反公理)对于任何对象x，有x = x

(对称公理)对于任何同类型的物体x，y，如果x = y，那么y = x。

(转移公理)对于任何同类型的物体x，y，z，如果x = y，y = z，那么x = z。

(替代公理)对于任何同类型的对象x，y，如果x = y，则f(x) = f(y)对于任何映射或运算f成立，同样，对于关于x的任何性质P(x)，如果x = y，则P(x)和P(y)是等价的语句。

对于任何整数，

自反性成立。

对于任何整数，，

对称性成立。同样，及物性也可以验证，留给读者去验证。至于替代公理，由于整数之间没有运算(加法、乘法等。)已被定义，这将在我们定义操作后得到验证。

整数的加法和乘法

下面定义了整数的两种运算——加法和乘法。

定义(整数加法):两个整数的和定义为

(a - b) + (c - d) = ( a + c ) - ( b + d)。

定义(整数乘法):两个整数的乘积定义为

(a - b) x (c - d) = ( ac + bd ) - ( ad + bc)。

比如，我们来考虑一件事。我们用一个相等的整数替换其中一个整数。加法和乘法的定义还有效吗？比如有吗？答案是肯定的，有以下引理。

引理(整数加法和乘法定义明确):对于任意整数a，b，a’，b’，c，d，如果a-b = a’-b’

(a-b)+(c-d)=(a’-b’)+(c-d)，

(c-d)+(a-b)=(c-d)+(a’-b’)，

(a-b)x(c-d)=(a′-b′)x(c-d)，

(c - d) x (a - b) = (c - d) x (a' - b ')。

证明下面的第一个等式，其他三个留给读者验证。从自然数加法的性质和整数加法的定义来看:

毕！

n和n - 0之间的联系

考虑整数集、自然数集，

此外，我们还有

对于乘法，我们有

所以对于加法和乘法来说，是自然数集到整数集的同态，然后自然数集可以同构到整数集的一个子集，也就是形状相同的所有整数的集合。换句话说，所有的形式整数和自然数都有完全相同的运算性质，所以在不破坏定义和运算性质的情况下，很自然地把自然数集看作整数集的子集，其中定义。

对应的物

定义(整数的逆):整数A-B-(a - b)的逆定义为B-A .特别地，如果n = n - 0是自然数，其逆数定义为-n = 0-n

这个定义是有效的，因为对于两个相等的整数，它们的反义词也是相等的:

引理:如果x是正整数，那么下面三个陈述只有一个是真的:

(1)x等于0，

(2)x是某个正自然数n，

(3)x是正自然数n-n的逆。

证明:先证明(1)、(2)、(3)中至少有一个是真的。根据整数的定义，可以写成形式，这里是自然数。对于两个自然数，只有三种可能:或者。如果是这样，有自然数使这等价于情况(2)；如果是，那么

情况是这样的(1)；也就是说，如果存在自然数，则这等同于情况(3)。

让我们证明(1)、(2)、(3)中至多有一个可以成立。根据正自然数的定义，正自然数不能是，所以(1)和(2)不能同时成立；假设(1)和(3)同时成立，有一个正自然数，它的相反数，和

矛盾！假设(2)和(3)同时成立，有两个正自然数使得，和

必须是正自然数，所以是矛盾的！

毕！

减法的定义

整数的代数算法:如果x，y，z都是整数，那么

x + y = y + x

(x + y) + z = x + (y + z)

x + 0 = 0 + x = x

x + (-x) = (-x) + x = 0

xy = yx

(xy)z = x(yz)

x1 = 1x = x

x ( y + z ) = xy + yz

(y + z ) x = yx + zx。

这里以第一个为例，其他的都是读者自己验证的。对于两个整数，

因此，加法交换律成立了。有了整数的运算规则，现在可以定义减法了。

定义(整数减法):两个整数的减法定义为

a - b = a + (-b)。

因为减法可以看作是加法和倒数的组合，而且后两者都是有效定义的，所以减法的定义也一定是有效的。在这一点上，并不难验证。

这表明和是完全等效的操作，因此现在可以用""替换" "。

整数的大小顺序

我们将自然数的顺序扩展到整数。

定义(整数大小的阶):如果是整数，我们称之为大于等于当且仅当有自然数，记为或。我们称之为大于且仅当，记为或。

性质(整数阶):如果A，B，C都是整数，那么

1.a > b相当于a-b是一个正自然数。

2.如果a > b，那么a+c > b+c .

3.如果a > b，c > 0，那么ac > bc。

4.如果a > b，-A

5.如果a > b，b > c，那么A > C .

6.以下三种情况只有一种必须为真:a > b，a < b或A = B .

整数的一些简单性质

现在列出整数的一些简单性质。

命题(0因子):如果是整数，那么

或者

推论(整数乘除法):如果是整数，如果不是，那么

以上两个性质可以从自然数的性质来推广，证明留给读者。

至此，本文介绍了自然数系统的扩展——整数系统，定义了整数系统中的减法，并简单列举了整数的一些性质。希望你能对整数有更深的理解。