罐头厂生产锡罐

摘要

用一元线性方程解决实际问题，是其他方程(组)解决实际问题的基础。用线性方程解决实际问题时，要根据具体问题中的数量关系建立方程模型，然后通过解方程来解决实际问题。在寻找复杂问题的数量关系时，要注意选择适当的方法，尽可能使复杂问题直观化或组织化。方程的解必须经过检验，是否合理要对照实际问题来检验。

知识的完全解决方案

一、列举方程解决实际问题的步骤

用列方程的方法解决实际问题，就是把生活中的实际问题抽象成数学问题，用列方程的方法来解决。通过列方程解决实际问题的一个步骤可以简单表述为:

(1)复习:找出问题的意思和问题中的数量关系。

(2)假设:用字母表示适当的未知数。

(3)寻找:找到能表达实际问题全部含义的等价关系是解决问题的关键。

(4)列:对于上述等式关系中涉及的量，列出必要的代数表达式，从而列出方程。

(5)求解:求解列出的方程组，得到未知量的值。

(6)回答:检查答案是否符合题意，写出答案，注意不要忘记单位。

给个提示

用方程解决实际问题时的注意事项如下。

(1)寻找等价关系的注意事项:①根据实际应用问题，准确判断所要解决的问题属于上述四种常见类型还是其他类型；(2)找出等价关系，用简洁的文字表达清楚；③含有未知数的代数表达式可以用来表示实际应用问题中的等式关系。

(2)设置未知数的注意事项:①设置未知数一般是问什么，直接设置什么；②如果难以直接设定未知数，就要间接设定未知数；③设置未知数时，未知数的单位一定要写清楚。

特别是在设置未知数的时候，如果未知数设置得当，列出的方程会很简洁，很容易求解。反之，方程很难列出，甚至不可能列出。有时候方程虽然能列出来，但是求解起来很麻烦。

二、列举用一元线性方程解决实际问题中常见的几种类型。

(1)行程问题:基本的数量关系是距离=速度×时间；顺流(风)速度=物体速度+水(风)速度，逆流(风)速度=物体速度-水(风)速度；在相遇问题中，双方走的距离之和=总距离；在追的问题中，双方的距离差=开始时的距离等。

(2)等面积变形问题:周长、面积、体积变化前后不变。

(3)工程问题:基本的数量关系是工作量=工作效率×工作时间；一个常见的数量关系是:一方工作量+另一方工作量=合作工作量。

(4)存贷款问题。

①利息=本金×利率×期数。

②本息之和(本息之和)=本金+利息=本金+利率×期数=本金×(1+利率×期数)。

③赚取利息=利息-利息税。

④利息税=利息×利率。

⑤年利率=月利率× 12。

⑥月利率=年利率×1/12。

(5)商品营销问题，常用公式如下

①利润和利润率公式:商品利润=商品售价-商品进价(即商品成本)，商品利润率=商品利润/商品进价。

②折扣率:N折，即以原售价的n/10出售。n可以是小数(比如7。5折)；

③变形公式:利润=总收入-总成本=单价×销量-总成本；售价=进价+利润=(1+利润率)×进价。

(6)竞赛分。

积分原则:不同的比赛有不同的积分。

(1)如篮球、排球等比赛，结果只有输赢。通常情况下，胜者得2分，败者得1分。所以有:总分=赢数×2+输数×1；

②在足球比赛中，结果是赢、平或输。通常胜一方得3分，平一方得1分，负一方得0分。那么，总成绩=胜数×3+平数×1。

(7)方案问题。

选择设计方案的一般步骤如下

①用一元线性方程解决实际问题的方法，解决两种方案数值相等的情况；

②用特殊值启发式方法选择方案，取小于(或大于)一元线性方程解的值，比较两种方案的优劣并得出结论。

方法微调

1类型匹配问题

例如，锡罐可以由锡板制成。每片马口铁可以制作25个箱体或40个箱底。一个盒体和两个盒底组成一套盒。目前有36个锡板。用多少片锡纸才能让板体和箱底刚好吻合？

【解析】根据题意，本题中的等式关系为箱体数× 2 =箱底数；制作盒体的铁皮片数+制作盒底的铁皮片数=36，即可解出列方程。

【答案】如果用x片做箱体，用(36-x)片做箱底。

根据题意，得到2×25x=40×(36-x)，

得到x = 16。

36-16=20(张)。

答:用16张做箱体，20张做箱底，可以让箱体和箱底刚好吻合。

【方法总结】解题的关键是理解题目的意思，根据题目给出的条件找出合适的等价关系，列出方程，然后求解。注意这个问题隐含的一个等价关系:“一个箱体和两个盆底匹配成一组箱体”。

第二类工程问题

例2有一批零件加工任务，由A单独完成40个小时，由B单独完成30个小时，A做了几个小时后由另一个任务完成，剩下的任务由B单独完成。b比A多做了2个小时，问A用了几个小时？

【解析】设A工作x小时，根据题意得出等价关系:A x小时的工作量+B (x+2)小时的工作量=1，然后根据等价关系列出等式。

【答案】设置护甲X小时。根据问题的意思，get

x/40+(x+2)/30=1

解这个方程X=16。

答:A做了16个小时。

【方法总结】本题主要考查一元线性方程的应用。关键是正确理解题意，找出题中的等价关系，列出方程。

3.某工程队承包了全长1755m的越江隧道施工任务，A、B两组分别从东西两端同时掘进。已知A组平均每天比B组多挖掘0.6m。经过5天的施工，两组共开挖45m。

(1)问A队和B队每天各挖多少米。

(2)为了加快进度，通过改进施工工艺，在剩下的工程中，A组可以比以前多挖0.2m，B组可以比以前多挖0.3m。按照这个施工进度，用比以前更少的时间能完成多少天的任务？

【解析】问题(1)用列出一元一次方程的方法求解。将B组设置为平均每天xm，然后a

A组平均每天挖(x+0.6)m，找到等价关系“施工5天后，两组共挖了45m”，列出等式。

问题(2)借助问题(1)中的结果，进一步计算即可得到所需结果。

【答案】(1)设定B组每天平均xm，A组每天平均(x+0.6)m。根据问题的意思，get

5x+5 (x+0.6)=45，

X=4.2，那么x+0.6 = 4.8。

答:A组的平均掘进时间为每天4.8米。B组的平均掘进时间为4.2m。

(2)改进施工工艺后，A组平均每天掘进4.8+0.2 = 5(m)；B组平均每天掘进4.2+0.3=4.5 (m)。

改进施工工艺后，剩余工程时间为(1755-45)÷(5+4.5) =180(天)。

按照原速度，剩余项目时间为(1755-45)÷(4.8+4.2) =190(天)。

少于190-180天=10天

回答:我可以比以前少10天完成任务。

【方法总结】在解决实际问题时，当问题中有几个不同的单位时，往往会因为粗心而忽略了统一的单位而出现错误。所以方程中所有单位都要统一，否则所列方程两边不相等。

3种打折销售问题

一件外套进价200元，按标价八折出售，利润率10%。这件外套的标价是多少？(注:利润率:(售价-进价)/进价×100%)

【解析】假设这件大衣的价格是X元，可以表示为售价0.8x元。根据利润的售价-进价=进价×利润率，可以建立一个方程，求其解。

【答案】假设这件外套的价格是X元，根据问题的意思。

0.8x-200=200×10%。

0.8x=20+200

0.8x=220

x=275

这件外套的价格标签是275元。

【方法总结】本题考查销售问题在现实生活中的应用，列举了一元线性方程解决实际问题的应用。解决这个问题的关键是根据利润率=(售价-进价)/进价× 100%建立方程。

4类竞赛积分问题

足球比赛的计分规则是:胜3分，平1分，负0分。一支足球队在某个赛季需要打14场比赛。现在已经打了8场，输了1场，得了17分。

请问:(1)这支球队前八场赢了几场？

(2)这个队打了14场比赛。最高分是多少？

(3)通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，可以达到预期目标。请分析一下，在接下来的6场比赛中，这支球队至少要赢几场才能达到预期目标？

【解析】利用方程计算球类运动积分问题的方法:明确题意，分析实际问题中的数量关系，找出等价关系，解决问题。这个问题的等价关系是总分=胜数×3+平局数×1。

【答案】(1)足球比赛的计分规则:总分=胜数×3+平局数×1。

如果这支队伍赢了X场比赛，它就平了(8-1-x)场比赛。根据问题的意思，get

3x+ (8-1-x)=17，解为x=5

a:在前八场比赛中，这个队赢了五场。

(2)因为已经打了八场，还剩下六场。如果你赢了所有的比赛，你会得到18分。所以打14场的最高分是17+ (14-8)×3=35(分)。

答:最高分35分。

(3)从题中含义来看，在剩下的6场比赛中，只要得分不低于12分。

所以赢不少于4场就一定能达到预期目标，或者赢3场平3场就刚好达到预期目标。

a:这支球队未来至少会赢三场。

【一万种方法总结】解决游戏求积问题时，要分析清楚游戏的规则，根据游戏的计分方法和游戏数的等式来解决。

5型方案决策问题

6某地有一种绿色蔬菜。如果直接在市场上卖，每吨利润1000元。粗加工后每吨利润4000元，精加工后每吨利润7000元。当地一家公司有140吨这种蔬菜。公司加工厂的生产能力如下:蔬菜粗加工的话，每天可以加工16吨；如果对蔬菜进行精细加工，每天可以加工6吨，但受季节条件限制，这些蔬菜全部卖出或加工完毕需要15天。为此，公司制定了以下三个方案。

方案一:粗加工所有蔬菜。

方案二:尽量把蔬菜吃完。以前没加工过的蔬菜，会直接在市场上卖。

方案三:加工完一部分蔬菜，粗加工另一部分蔬菜，15天就完成了。

如果你是公司经理，你会选择哪种方案？说明原因。

【解析】要确定哪个方案最赚钱，首先要计算出每个方案的收益，然后进行比较。

【答案】方案一:粗略加工全部140吨蔬菜，每吨利润4000元。

400× 140 = 56万元

方案二:尽可能的细化蔬菜。以前没加工过的蔬菜，会直接在市场上卖。

15×6×7 000+(140-15×6)×1000 = 680 000元。

方案3:如果设置了x吨整理，则

x/6+(140-x)/16=15

得到x=60。

700× 60+4000× (140-60) = 740 000元。

因此，选择第三种方案。

答:应该选择方案三。

【方法总结】在计算方案3的销售金额时，如果按“问什么，设什么”就不容易找到与已知量的关系，由此可见用方程解决实际问题时，适当设置未知数是非常重要的。

中考环节

1 .一元线性方程在考点的实际应用

一月份某品牌自行车销量为100辆，每辆价格相同。2月销量比1月增长10%，每辆车价格比1月下降80元。如果二月和一月的总销售额相同，则一月的销售价格为()

A.880元乙800元丙720元丁1080元

【解析】假设1月份每辆车的价格为人民币X元，则2月份每辆车的价格为人民币(x-80)。据“2月销量比1月增长10%，每辆车价格比1月下降80元。2月和1月的总销量是一样的。”列出方程的井解、

【答案】假设1月份每辆车的价格是X元，2月份每辆车的价格是(x-80)元，具体看问题的意思。

100x= (x-80)×100×(1+10%)

得到x=880。

所以，一月份，每辆车的价格是880元。

所以选a。

【点评】本题考查一元线性方程的应用。根据问题的含义得到“2月份每辆车的价格”和“2月份的销售总额”是解决问题的突破口。

例2小明想从网上商店买计算器。经查询，某品牌A计算器单价比B计算器多10元。五个A计算器和七个B计算器是一样的。A和B计算器的单价分别是多少？

【解析】设A型计算器单价为X元，B型计算器单价为(x-10)元。根据“5台A型计算器的价格与7台B型计算器的价格相同”，列出方程并求解。

【答案】设a型计算器单价为x元，那么b型计算器单价为(x-10)元。

根据问题的意思:5x = 7x (x-10)，

得到x=35。

所以35-10=25元。

答:A型计算器单价35元，B型计算器单价25元。

【点评】从实际问题中抽象出一元线性方程。解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件找出合适的等价关系，列出方程，然后求解。