工程数学分析(工程数学分析公式)

2020年7月9日，我在知乎回答了“工科生除了在课堂上学习高数还能做什么来提高数学水平”的问题。没想到，稀里糊涂当天就上了知乎的热搜。可见大家对这个问题还是挺关心的。下面，我就分享一下我作为工科学生如何提高数学能力的经验。

为什么要学好数学？

首先声明一下，数学系的同学不要理会这篇文章。本文的学习体会主要是工科学生学习数学的“土著”方式。

很多刚入学的新博士生经常说:“我数学基础薄弱，遇到一堆公式就头疼。怎么才能提高自己的数学基础？”有这种困惑的同学一般都是工科本科的童鞋。我刚开始读博的时候也面临着同样的困惑。本科只学过微积分和线性代数。如果你只是一个码农，这些数学知识足够应付，但是如果你是读博做理论研究，尤其是运筹学和机器学习的博士，就不够用了。

在实际做科研的过程中，工科生可能更感兴趣的是学什么，学什么，缺乏系统的学习过程。如果只学自己缺乏的东西，短期内可能没什么问题，完全有可能做出一些好的研究成果，但长期来看可能后劲不足，在科研的道路上很难走远。这也是为什么我们经常看到很多著名的大牛都或多或少有着很强的数学背景，这足以从侧面反映出系统的学习数学知识对于长期输出高质量的科研成果有很大的帮助。

数学系主要课程概要

运筹学应用的数学知识，对于工科生来说可能有点“深不可测”，但实际上基本没有超出数学系的本科范畴。因此，要想系统地学习数学知识，对数学系本科生的必修课有一个基本的了解就足够了。一般来说，数学有三个主要组成部分:分析、代数和几何。在这里，我把数学系本科生的干货课程按照以上三部分进行了分类:

分析:数学分析(微积分)，实分析(实变函数)，泛函分析，复分析。

代数:高等代数(线性代数)，抽象代数(群论，伽罗瓦理论)

几何:解析几何、拓扑学、微分几何(流型)

其他:概率论、随机过程、图论、常微分方程(ODE)、偏微分方程(PDE)、初等数论等。

数学技能树

微积分(数学分析)和线性代数(高等代数)是最重要最基础的岗位。图中箭头表示学习某门课程所需的先修课程。比如学习实分析，先修课程是微积分。比如学习概率论的先修课程是微积分和线性代数。这张图主要参考了参考文献[1]中的内容，同时也增加了一些自己的理解(当这张图的画法不是唯一的，仅供参考)。大家可以根据自己需要学习哪些数学知识，结合图中的路线规划，制定自己的学习路线。

推荐给工科学生的数学课程

我在博士期间补充数学知识的过程中，发现工科生直接上数学系的优质教材和课程可能不太合适。主要是因为工科学生和数学系学生的思维方式有巨大的差异，但很少有人能弥补两者之间的巨大差距。数学系的老师大多鄙视应用数学，同时很少接触实际问题，无法满足工科学生想知道数学到底有什么用的需求。所以在讲课过程中简单灌输完善的数学理论很容易被引导。同时，由于数学理论实在难以理解，高门槛也让大部分工科老师拒之门外。他们想了解数学，却经常被一堆公式难倒，却力不从心。

由此我们发现，要想做好工科学生的数理基础教学，必须两者兼备。那些数学基础好，做过实际项目有大量实践经验的，也就是上得厅堂下得厨房的。这样的人才目前还是比较少的。接下来推荐一些我认为适合你的课程，供你参考。这些优质课程都是我在长期学习过程中总结出来的，或者和工科童鞋比较。

3.1分析

大连理工大学力学系郭旭老师主讲泛函分析与变分法。这是那一年对我影响最大的课程。因为是针对力学系的，所以比纯数学的课程友好多了。郭老师对实际工程问题有很深的理解，所以在教数学的过程中会说人话。这门课虽然叫泛函分析，但实际上包含了数学分析，实分析，泛函分析。本课程由于课时较短，无法涵盖全部内容，在具体推导和证明过程时，主要以教学思路为主。但是，作为第一门入门课，有了这门课的基础，再进一步深入就很容易了。对于工科童鞋来说，微积分和线性代数完全可以理解，这门课是非常好的过渡跳板。

大连理工大学力学中的泛函分析与变分原理

https://www.bilibili.com/video/BV1Sx41187yJ? from = search & seid = 4026602114354203388

复旦大学数学系陈继秀老师的数学分析。说实话，我还没有亲自刷过这门课。我只看过陈老师的数学分析书，我觉得很好。陈老师的课程网上评价也不错，推荐一下。

数学复旦陈继秀解析

https://www.bilibili.com/video/BV12s411h7v4? from = search & seid = 12420733809290005843

参考书目:陈继秀等，数学分析，高等教育出版社[M]，2004。

上海交大张翔老师的实变函数。那年我上的第二门课是实变函数的课。我觉得是国内课程中非常认真的一门课，配套教材也比较简洁。有了数学分析的基础和第一门课，这门课能理解70-80%的问题。

张翔，上海交通大学，实函数

https://www.bilibili.com/video/BV1ut411P7RX? from = search & seid = 1266004533449980646

参考书目:[1]郭茂政，实函数与泛函分析[M]，北京大学出版社，2005。

陈创，四川大学，实函数。这个课程是后来在知乎上另一个同学的评论区提醒我的。简单看了一下，觉得这门课很不错。这门课的入门门槛比较低，适合完全没有实函数基础的学生。相对于上海交大的最后一门课，可以形成高低难度的组合。

陈创，四川大学，实函数

https://www.bilibili.com/video/BV1ax411C7iR? from = search & seid = 16587453751738773515

参考书目:陶哲轩，实分析[M]，人民邮电出版社，2008。

内蒙古大学孙炯老师的职能分析。越往上难度越大，可以参考的课程资料越少。如果你搜索数学分析的在线课程，课程还是比较多的，但是如果你搜索泛函分析，课程就比较少了。这门课是内蒙古大学的基础课，课程的教学非常用心。要想真正学好泛函，需要有扎实而广泛的数学基础，熟悉分析、代数和微分方程，然后再学习泛函这种高度抽象简洁的课程，才能有所感悟。

功能分析孙炯，内蒙古大学等。

https://www.bilibili.com/video/BV1fE411b7YY? from = search & seid = 13551074145815244796

参考文献:[1]孙炯，王，何，等.泛函分析[M].高等教育出版社，2010。[2]约翰·索普卡，“函数分析导论及其应用(欧文·克雷齐格)”。暹罗评论21.3 (1979): 412

3.2代数

麻省理工学院吉尔伯特斯特朗硕士线性代数课程。这门课很有名，估计很多同学都学过。清华目前在用吉尔伯特·斯特朗大师的线性代数书作为教材。这个课程我个人刷了两遍。这门课对工科学生很友好。

线性代数MIT吉尔伯特斯特朗

https://www.bilibili.com/video/BV1zx411g7gq? from = search & seid = 13670711146483215033

参考书目:斯特朗，斯特朗，斯特朗，等.线性代数导论[M].马萨诸塞州韦尔斯利学院:韦尔斯利-剑桥出版社，1993年。

Gilbert Strang最近开了一门课，主要讲线性代数在各个领域的应用。当然前半部分课程也会复习线性代数的内容，然后展开具体的应用。此外，还邀请了几位嘉宾对不同领域的话题进行补充。课程内容不深，但抛给我们很多值得深入思考和研究的好话题(老人比第一个视频老多了)。

麻省理工线性代数在数据分析、信号处理和机器学习中的应用(英文和中文)

https://www.bilibili.com/video/BV1s7411L7xd? from = search & seid = 16313631556556854552

参考书目:Strang G .线性代数与从数据中学习[M]。韦尔斯利-剑桥出版社，2019年。

完美数学教室中的Maki抽象代数。疫情期间刷了这门课(在家无聊，要补数学)。对于我现在的基础来说，要掌握抽象代数还是比较难的，虽然一门课下来我已经理解了50%，尤其是后半部分。不过值得推荐的是这位UP大师做了很多数学课程。如果他喜欢，可以多刷他的课程，肯定受益匪浅。

抽象代数制作

https://www.bilibili.com/video/BV1C7411Z7xh? from = search & seid = 9565130789173873784

参考书目:迈克尔·阿丁。代数第二版

3.3概率论、统计学和随机过程

找了很久的概率论与统计的课程。要么是太简单，要么是太难太抽象，跟不上。最后找了很久，觉得最适合概率论的课程是麻省理工的概率论。

麻省理工学院随机系统分析和应用概率6.041

https://www.bilibili.com/video/BV1wt41147HB? from = search & seid = 11016340191721362898

参考书目:Bertsekas D，Tsitsiklis J .概率论导论[J].2009.

统计学是最适合台湾交通大学唐老师的课程。整个课程由浅入深逐渐展开。统计学(1)前半部分我们会复习概率论的知识。需要的话可以看看。如果不需要，可以直接跳到统计。统计学其实是一门实践性很强的课程，也是在实际应用问题中大有用武之地的课程。尤其现在机器学习很火。从概率统计的角度看机器学习，会让你有更深的理解。

统计学(1)唐台湾交通大学

https://ocw.nctu.edu.tw/course_detail.php? bgid = 3 & GID = 0 & NID = 277

参考书目:Newbold P，Carlson W L，Thorne B .商业和经济统计学[M].新泽西州上萨德尔河:皮尔逊·普伦蒂斯霍尔出版社，2007年。

台湾交大陈柏宁老师的随机过程，说实话我对这门课不是很了解，因为目前我的研究内容很少用到随机过程，所以我学习的动力不是很强。只记得陈老师的那句话“随机变量既不是随机的，也不是变量”。

随机过程陈柏宁，台湾交通大学

https://ocw.nctu.edu.tw/course_detail.php? bgid = 8 & GID = 0 & NID = 558 & page = 2

参考书目:《概率、随机变量和统计过程》。第四版，麦格劳·希尔出版社，2002年。

3.4图论

我个人认为应该多关注图论之类的课程。其实一方面，图论的内容理论性很强，难度很大，图论的很多猜想很难证明。另一方面，图论是一门很接地气，很实用的课程。本课程每个视频的内容都不长。基本上，一个视频围绕一个主题。老师也很善于从现实生活中举例来说明理论。在教学过程中，大量的类比和隐喻被用来促进学生的理解。我得到了所有这些点。从学生上课的反应来看，似乎本科生还是没有理解老师的良苦用心，哈哈。

集合论和图论哈尔滨工业大学蒋守旭

https://www.bilibili.com/video/BV1Qt41187GN? from = search & seid = 1584405488842539640

3.5微分方程

台湾交通大学数学系李荣耀微分方程。微分方程课程需要大量的图纸来帮助理解。这位老师写了一块黑板一直在证明和推导，但是八块黑板都不够，可见他的学识之渊博。说实话，整堂课我都印象深刻。这样一个有能力，有奉献精神的老师，真的令人钦佩。

事实上，微分方程存在于大量的真实物理系统中。我们常见的机器人运动控制、优化算法的搜索过程、大脑神经元的机制、无人驾驶汽车的速度和位置、生态系统中物种数量的变化、疾病传播和扩散的描述(现在很多预测新冠肺炎患者数量的模型都是基于微分方程)等等都可以建模为微分方程。对于控制理论的学生来说，主要的研究对象是微分方程。学这门课自然对控部童鞋肯定有好处。

微分方程李荣耀，台湾交通大学

https://ocw.nctu.edu.tw/course_detail-v.php? bgid = 1 & GID = 1 & NID = 500

参考书目:微分方程，P. Blanchard，R. L. Devaney，G. R. Hall，第4版出版社:Cengage Learning