半圆的面积公式小学（半圆形面积公式）--知乐空间

半圆面积公式(半圆面积公式小学)

星期一定理5新月面积定理

收拾|子说

新月是一个平面图形，其边缘有两个圆弧。公元前5世纪，古希腊希俄斯的希波克拉底因其伟大的发现——发现月牙的面积，而被后人称颂。批评家普罗克洛斯(公元410-485年)从他5世纪的角度认为，薜西斯的希波克拉底”...做了一个面积相等的月牙形正方形，并在几何学上有了许多其他发现。如果那个时代有绘画天才，那一定是他。”威廉·邓纳姆在他的科普名著《天才指引的课程:数学中的伟大定理》中讲述了12个伟大的定理，第一个定理就是希波克拉底的新月面积定理。

今天，我们将通过“一周定理”这一专栏来介绍月牙面积定理及其历史背景和意义。

如图1，取AB为半圆的直径，O为AB的中点，OC垂直于AB，其相交半圆在C，连接AC和BC。取AC的中点D，然后以D为圆心，以AD为半圆AEC的半径，这样就形成了一个月牙形的AECF，如图1黄色部分所示。

图1

希波克拉底发现并证明了新月形面积定理。

【定理】新月形的AECF可以用一个等面积的正方形来表示。

这里需要说明的是“可以用面积相等的正方形来表示”，字面意思是“可以用面积相等的正方形来表示”。但是为什么要用面积相等的正方形来表示呢？其实它有着深刻的历史背景和意义，体现了古希腊人独特的数学智慧。

对于古希腊人来说，求面积源于实际生产生活中测量的需要。如何求各种图形的面积，尤其是不规则图形的面积，是当时希腊数学的一个中心问题。他们的方法简单而伟大，就是把不规则图形换成面积相等的正方形，那么确定不规则图形面积的问题就变成了简单的确定正方形面积的问题。

因此，对于公元前5世纪的希腊人来说，如果一个平面图形可以用一个等面积的正方形来表示，那么这个平面图形的面积就可以确定了。所以求面积也叫求平方。古希腊人在求正方形的过程中，还有一个不成文的规定，就是只能用圆规和直尺(没有刻度)来作图，这个规定一直保留到今天，甚至成为几何作图中必须遵守的规定。

这种以简单、基本的事物为基础处理复杂问题的方式，在数学中应用广泛，也是我们在数学学习中需要掌握的一种重要的数学思想。

古希腊人首先解决了矩形的求方问题，然后是三角形，最后是多边形。

【第一步】求矩形的面积。

图2

对任意矩形ABCD，将AD延伸到E使DE=CD，取AE的中点F，以F点为圆心，以AF=EF为半径做半圆，延伸CD与半圆H相交，再以DH为边做正方形DHKL。那么，正方形DHKL与原来的长方形ABCD有相同的面积。

为了证明正方形的DHKL面积等于长方形的ABCD面积，我们设HF=a，DF=b，DH = C .那么在直角三角形DFH中，根据勾股定理:A = B+C，或者A-B = C .显然，AF=EF=HF=a，AD=AF+DF=a+b，CD=DE=EF-DF=a-b，所以

s(矩形ABCD)

=AD×CD

=(a+b)(a-b)

=a -b

= c = s(平方DHKL)

这样我们就证明了原来矩形的面积等于我们用尺子画出的正方形的面积，从而完成了矩形的平方。

求出矩形的面积后，就可以求出三角形的面积。

【第二步】求三角形的面积。

图3

对于任意三角形ABC，取BC边的高AD，取AD的中点E，然后我们取矩形FGHI，这样FG=BC，GH=DE。

这时，s(矩形FGHI)

=FG×GH

=BC×DE

=1/2BC×AD

=S(△ABC)

至此，求三角形平方的问题已经完成。

【第三步】求多边形的面积。

图4

对于任何多边形，我们都可以通过连接对角线将多边形分成几个三角形。以五角大楼为例。可分为三个三角形，即I、II、III。整个五边形的面积等于S (I)+S (II)+S (III)。

第二步，我们已经知道三角形可以用等面积的正方形来表示。所以我们可以做面积为I，II，III的正方形，让它们的边长分别为A，B，C，如图5所示。

图5

然后，以A和B为直角边，做一个直角三角形。设其斜边的长度为X，则X = A+B .取X和C为直角边，做一个直角三角形，设其斜边的长度为Y，这样，Y = X+D .最后我们可以做一个边长为Y的正方形(如图6阴影部分)。

图6

综合我们的结论，我们可以得到

y =x +d =a +b +d

= S(ⅰ)+S(ⅱ)+S(ⅲ)

因此，原始多边形的面积等于以Y为边长的正方形的面积。

显然，上述绘图和推导过程适用于任何多边形。总之，多边形可以用一个等面积的正方形来表示。甚至像图7这样的平面图形也可以用等面积正方形来表示。想想为什么？

图7

通过使用上述方法，希波克拉底的希腊人可以将混乱的不规则多边形转化为等面积的正方形。但是，很遗憾，这些数字都是直边数字。对于曲边图形是否也可以用等面积正方形来表示的问题，起初人们认为似乎根本不可能，因为显然没有办法用圆规和直尺把曲线拉直。其中，尤其是对于一个圆来说，如果不能用一个等面积的正方形来表示，它总是不那么完美的。

众所周知，几何学中有三个著名的问题。这三个问题是:

1.角三等分，将给定的角分成三个相等的角的问题；

2.将立方体相乘，求体积是已知立方体两倍的立方体的边长；

3.把圆变成正方形，求平方问题等于给定圆的面积。

其中，圆变方的问题就源于此。

当希波克拉底在公元前5世纪成功地将一条名为“新月”的曲线图案化为正方形时，世界为之震惊。

图8

由于希波克拉底成功地找到了月牙面积，希腊数学家对“化圆为方”的问题非常乐观，仿佛胜利的曙光就在眼前。据说希波克拉底自己声称他能找到一个圆的面积。然而，引人注目的是，2000多年后的1882年，德国数学家费迪南德·林德曼(1852-1939)成功而明确地证明了不可能把圆变成正方形。这真是一个漫长、曲折、戏剧性的结果。

由于林德曼证明了π是超越数，由此引出圆不可能变成正方形的证明，不在本文讨论范围之内。

最后，我们附上希波克拉底新月面积定理的证明如下。他的证明是如此简单和巧妙。

【定理】新月形的AECF可以用一个等面积的正方形来表示。

图9

【证明】因为∠ACB是半圆上的圆周角，∠ACB是直角。根据棱角全等定理，三角形AOC和BOC全等，所以AC=BC。然后，通过应用毕达哥拉斯定理(勾股定理)，我们得到

因为AB是半圆ACB的直径，AC是半圆AEC的直径，我们可以应用上面的第三个结论，即得到

也就是说，半圆形AEC的面积是半圆形ACB的一半。

现在让我们看看AFCO的四分之一圆周。显然，这个四分之一圆也是半圆ACB面积的一半，从中我们可以直接画出

面积(半圆AEC)=面积(四分之一圆AFCO)

最后，我们只需要从这两个图中减去它们的公共部分AFCD，即

区域(半圆AEC)-区域(AFCD部分)

=面积(四分之一圆AFCO)-面积(AFCD部分)

从图中我们可以很快看到，剩下的就是

面积(新月形AECF)=面积(△ACO)

我们知道，可以做一个正方形，使其面积等于三角形ACO的面积，从而等于新月形AECF的面积。这就是我们所寻求的月牙形正方形的问题。铋

上图中，希波克拉底只画出了一个特殊的新月形区域。有趣的是，并不是所有的月牙形都能变成等面积的正方形。1771年，伟大的数学家欧拉(1707-1783)发现了另外两种新月形，可以用等面积的正方形来表示。直到20世纪，N.G. Chebatoru和A.W. Dorodno证明了只有5个月牙形可以用等面积正方形来表示！所有其他类型的新月形，如圆形，都不能转换成等面积的正方形。

最后需要说明的是，根据希波克拉底特殊新月定理的证明，我们可以很容易地证明下面更一般的新月定理。

【月牙定理】若以直角三角形的两条直角边为直径向外做两个半圆，以斜边为直径向内做半圆，则三个半圆围成的两个月牙形面积之和等于直角三角形的面积。

图10

即两个黄色月牙面积之和等于灰色直角三角形的面积。作为练习，请在你自己完成证明过程之前阅读它。