椭圆面积的计算公式(如何画椭圆图像)

阿基米德在他的关于圆锥体和球体的书中计算了椭圆的面积(命题4)。

当我们垂直缩小一个圆时，我们得到一个椭圆。椭圆有一个长轴和一个短轴。

椭圆面积公式是圆面积的漂亮推广。长半轴A和短半轴B的椭圆面积为:

首先，我们用直观的方法推导出这个公式。但是阿基米德的“方法”和严格的定理证明有明显的区别。

之后我们会解释阿基米德是如何证明这个结果的。

围绕椭圆的半径为A的圆称为其辅助圆。如果我们缩小这个圆(垂直)，我们得到一个椭圆。给定椭圆上的点m，它满足关系式:

阿基米德考虑了一些由椭圆和辅助圆内接的多边形。这些多边形的边数等于4的倍数，水平直径的两端就是顶点。

圆内接多边形P '是正多边形，P是椭圆E上的内接多边形，它的顶点是从P '的顶点到E的横轴的垂直线与椭圆E的交点，我们有如下关系

那么两个多边形P和P’的面积关系是:

但是这些多边形可以有任意多条边，可以无限逼近圆和椭圆。

我们得到椭圆面积的公式:

如果我们的直觉是正确的，那么这就是椭圆面积的公式。使用mathlet缩放，我们可以看到一个非常好的近似，但多边形永远不会完全填充整个椭圆或圆。

这是一个好方法，但是阿基米德需要一个逻辑证明。