等边三角形的判定(等边三角形的性质和判定)

三边相等的三角形称为等边三角形，是一种特殊的等腰三角形。它们具有等腰三角形的所有性质，又有自己独特的性质。

1.等边三角形的性质

等边三角形的三个内角相等，每个内角等于60°；等边三角形是具有三个对称轴的轴对称图形。

例1:如图所示，已知B、C、D点在同一条直线上，△ABC和△CDE为等边三角形。Be穿越AC到F，AD穿越CE到h(1)证明:△BCE≔△ACD；(2)证明:FH∨BD。

问题一:首先根据△ABC和△CDE是等边三角形的事实，可以得到BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60，然后由SAS定理可以得到△BCE≔△ACD；

问题二:由(1)可知△BCE≔△ACD，可知∠CBF=∠CAH，BC=AC，再由ASA定理可知△BCF≔△ACH，可得CF=CH，根据∠FCH=60。

这也是“手拉手模型”的基本模型图，包含的结论远不止这两张。如果等边三角形中的一个绕C点旋转，会得到一系列结论。

2.等边三角形的判定

常用的方法有:

(1)三条边相等的三角形是等边三角形；

(2)三个角相等的三角形是等边三角形；

(3)角为60°的等腰三角形是等边三角形。

例2:如图，在△ABC，∠A=120，AB=AC，d为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点e，f为垂足，证明△DEF为等边三角形。

解析:从∠A=120，AB=AC，容易得到∠B=∠C=30，从而∠EDF=60，因为D是BC的中点，所以容易证明△BDE≔△CDF，并且从全等三角形的性质得到DE=DF由

本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定定理，等边三角形的判定。找出等边三角形的判定条件是解决这个问题的关键。证明等边三角形时，常采用第三种判断方法。

3.30度直角三角形

在直角三角形中，如果一个锐角是30°，它所面对的直角边等于斜边的一半。该定理的前提条件是“在一个直角三角形内”，这是证明直角三角形的一边等于另一边的一半(斜边)的重要方法之一。通常用来证明边的倍数关系，计算线段的长度。在这个直角三角形中，三条边的比例是1: 2:根号3。

例3:已知:如图，在等边△ABC中，AE=CD，AD与BE相交于p点，BQ⊥AD在q中证明:BP=2PQ..

解析:根据全等三角形的判定方法SAS，可以证明△BEC≔△ADB，根据三角形的角、内角、外角的关系和定理，可以证明∠BPQ=60，进而得出结论。

本题主要考查等边三角形的性质、三角形外角的性质、30°直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质。