二次方程求根公式(二次方程求根公式是谁发明的)

众所周知，一元二次方程属于初中数学知识，其解法有配点法、因式分解法、公式法等。在各种方法中，配方法有其硬核的论述，公式法有其复杂的造型，还有优雅的因式分解法，其神秘的气质让初中生又爱又恨！二次方程的解法已经成为数学基础的基础，用这样的基本方法在21世纪诞生了新的解法，势必赚足眼球！

“一元二次方程新解”的发明者罗伯逊是卡内基梅隆大学的华裔数学教授，也是美国数学教练。罗伯逊教授说，“如果这种方法直到今天才被人类发现，我会感到非常惊讶，因为这个话题已经有4000年的历史，数十亿人都遇到过这个公式及其证明。”

事实上，在古代，全世界的数学家都在研究一元二次方程。虽然没有完全相同的方法，但就其内涵而言，古代的一些解法与罗教授的解法是相似的。不难想到原因。古代数学家没有韦达，更没有代数的符号记数法。现在罗教授的解决方案有“踩肩膀”之嫌。那么，这种方法的含金量有多高呢？我们不做定量的判断。下面给大家带来一个二次方程的解PK。让我们一起来欣赏古今数学大神的精彩表演吧。

2019年新解决方案

有请第一位选手上台，掌声欢迎罗教授！为了更直观，我们用一个例子来说明这个方法。

对于一元二次方程:x-8x+12 = 0，先假设这个方程的根是R和S，

那么一定有:x-8x+12 = (x-r) (x-s)，

展开右边:x-8x+12 = x-(r+s) x+rs，

对应的左右相等，结果是:r+s = 8；RS=12，

关键部分来了。因为刚才它们的和是8，R和S的平均值是4，所以方程的根可以设为4+K，4-K，又因为RS=12，那么(4+K)(4-K)=12，那么16-K=12，那么K=2(-2是同一个结果)方程就解出来了！如果二次系数不是1，先把二次系数改成1，再做上面的操作。

当这个解决方案公开后，来自世界各地的声音。有人说，这个解决方案简直太好了，不需要记忆异常的公式，也不需要寻找那个公式的小尾巴。当然，也有来自中国留学生的声音:这不是交叉乘法吗？解一个方程需要很多步骤。我们需要的不是如何解方程，而是如何在短时间内正确求解！也有人认为这只是维耶塔定理的一个小应用，维耶塔定理的表述更一般。

无论如何，我们不得不佩服罗教授的思维之新颖，是“旧知识”与“新逻辑”的巧妙结合！

古阿拉伯语溶液

说到古代阿拉伯数学，我不得不提到一位重量级人物——阿尔华拉·墨子。“代数”一词源于公元825年一本用阿拉伯语写成的书的书名，作者是华拉·墨子。没错，他是我们今天第二个上台的选手。说实话，我第一次看到罗教授的解，第一个想到的就是阿尔花剌子模，阿拉伯人对方程的理解简直是登峰造极！

在书中，阿尔拉·墨子提出了一个问题:“一个平方和这个平方的十个根等于三十九个迪拉姆。多少钱？”是不是看起来太迂回了？由于当时还没有发明代数符号，古代的数学方程只能用文字来描述。我来帮你解释一下，如果这个数是X，那么“平方”就是X，“平方根”就是X的根，那么“平方根”就是指“X”，“这个平方的十个根”就是10X，问题就转化为求解方程:X+10X=39。不得不佩服数学符号对数学的意义。这样短的符号和冗长的文字形成了鲜明的对比！)

花刺模块给出的解法是:(注:下面的“根”不是指现在方程的根，而是指平方根)

①根数减半。在这个问题中，我们将10减半，所以我们得到5；

②自己乘以5，再加上39，得到64个；

③取64的根，即64的平方根，得8；

④从中减去一半根数，即8减5得3，方程就解出来了。

有小朋友发现了问题，因为二次方程有两个根，都丢了！别慌，一个伟大的数学家怎么会犯这么低级的错误？因为当时的人普遍不接受负数，所以自然不会考虑负数。如果能出现负数，那么在③处，直接用64的平方得到8，然后两者减去5，自然就得到两个根，3和< 13。今天借用历史传统，这里还是不谈负数，就是考虑平方根的正根。

以下纹身子模块的解决方案符合今天的公式:

我们还可以看到，华腊子模研究的方程是一个二次系数为1的二次方程，即x+bx+c=0，上述方程的解是用字母的系数设定的:

如果考虑正负平方根，二次系数不等于1，这就是现代版的求根公式！

当我第一次看到花剌子模方程的解时，我很不安。这个解决方案是怎么想出来的？脑洞太有必要了。不仅我这么认为，我相信他同时代的人也有这个疑问，所以花剌子模并没有就此止步。他觉得应该给大家一个合理的解释，于是想了一个证明方法，考虑到其他同事的知识水平，这个方法必须是大家都能接受的。其实他发现这个方法就是几何方法，没有什么比图形更容易让人理解的了！

该方法如下:

①构造一个边长为X的正方形和一个长宽分别为X和10的长方形，则它们的面积之和为X+10x；

要理解X+10X=39的等式，即当图形面积为39时，边长X是多少？

②将矩形一分为二，即分成两个5X，然后将一个5X平移到底。这个时候面积还是39；

③完成右下角缺失的正方形，很容易知道虚线的小正方形边长为5，面积为25；

④此时大正方形的面积为39+25=64，中大正方形的边长为8，再用8减去5自然求出X=3。完成！

可见在花刺子模的计算方法中，每一步都是严格对应他的几何证明，令人信服！华拉子模之后很多数学家也在研究二次方程。从9世纪到16世纪，几乎所有关于代数的书籍都是从“X+10X=39”开始讨论方程的。如果二次方程圈要祭祖，花拉子模一定是第一候选！

中国古代的二次方程

我国历史上有许多杰出的数学家，如祖冲之、秦等知名人士。我们古代数学重在“算术”。可以说算术异常发达，常常让西方数学家瞠目结舌。既然要计算，就要参与“二次方程”！对于中国二次方程的求解，我们大致介绍一下朝贡信息资源在两个时间节点上的贡献，一是《算术九章》，二是《勾股方图》。

①《九章算术》卷九有一题:“今有不知大小之城，各开中门，出北门二十步有木，出南门十四步有木，西一千七百七十五步有木。问城市的几何？回答:250步。”

如图所示，DEFG是一个方形的小镇。北门H位于DG的中点，南门K位于EF的中点。北门20步有一棵树，南门14步到C，再往西1775步到b，只要看到A处的树，求小镇的边长。

原文还给出理解方法:“以出北门步数(20)乘出西门步数(1775)次为实，以出南门步数(14)为从法，以方分之，即城边。”以上文章中的“实”是指常数项，“跟随法”是指第一项的系数。由此可得二次方程:X+(20+14)X-2201775 = 0。至于如何解这个方程，只有“按方除之”才能解这个方程，留给后人无限遐想！当然，这也很符合《九章算术》的一贯风格。给出一个问题，匹配一个答案，剩下的自己想！后来刘徽在给《九章算术》做注释时，只对为什么这样列方程做了合理的解释。至于如何解方程组，还是没有提到。

②公元3世纪的数学家赵爽，在注《周易算经》时，不仅给出了勾股定理的完美几何证明，还给出二次方程的解法！其中一篇论文说:“它的双弦是一个广大的组合，使那些看到钩子和股票的人都认为这是理所当然的。四是减它，剩下的收入就是差，差就是减和，剩下的就是宽，减到弦上就是你要的。”

这里对抽象的文言文不做过多解释。如果方程可以写成:X-bX+c=0的形式，那么方程的根就是X=(b-√b-4c)/2。可以看出，这几乎是二次方程的根公式，当二次项的系数为1时。更何况“其双弦为广大组合”是指两个根之和为B，“使钩与股互视为实”是指两个根的乘积为c，我说的是根与系数的关系。是“维耶塔定理”的简化版。要知道这个结论比Wada早了1300多年，所以有人称赵爽为“中国的Wada”。

根公式的发现

关于二次方程的研究全世界都有涉及，那么大家熟悉的二次方程求根公式是什么时候出来的呢？说出来可能会让你大吃一惊。直到1768年，大数学家欧拉在《代数导论》中给出了中学课本中的求根公式，这才是这个公式第一次被公开发表。

虽然各路大神对二次方程都有独到的见解，但始终难以有一个“一统江湖”的普适公式。早在20世纪50年代，大卫就已经提出了“维耶塔定理”，完美地解释了根与系数之间的关系。18世纪初，牛顿提出了二次方程的根与其判别式的关系。为什么求根公式迟迟不出？

其实数学圈前面有两座山，一座是负的，一座是虚的。千百年来，人们普遍不接受这两个“怪物”的存在，并在计算中尽力避开它们。比如负数，生活中真正看不见摸不着的东西，自然不需要它们的存在。再比如虚数，看起来比较空灵。-1的平方是多少？自然没有负数，牵强附会，更不用说平方根运算了！这就是问题所在。如果接受负数，就必须让负数有一个“合理”的平方根运算，否则数学体系就不完整。人们一直在回避他们，却像幽灵一样，在计算中总是被回避。

直到19世纪中期，数学家对代数方法的研究越来越完善，对代数方程的研究演变为对代数系统的研究。人们终于接受了负数和虚数，于是就有了求根公式！