世界七大数学难题(算上世界七大数学难题)

2000年5月24日，美国马萨诸塞州克莱数学研究所在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体热议的大事:悬赏100万美元征集7道“数学难题”中的每一道。

非确定性多项式完全问题

NP完全问题(NP-C问题)是世界七大数学问题之一。NP的英文全称是非确定性问题，即多项式复杂性的不确定性。简单的写法就是NP=P？问题就在于这个问号，NP等于p还是NP不等于p。

说明

在一个星期六的晚上，你参加了一个盛大的聚会。因为你觉得尴尬，所以你想知道这个大厅里有没有你已经认识的人。你的主人建议你，你必须知道在站靠近甜点盘的角落里的玫瑰女士。你在那里扫描不需要一秒钟，发现你的主人是对的。但是，如果没有这样的暗示，你就必须环视整个大厅，逐个考察每个人，看看有没有你认识的人。

生成问题的解决方案通常比验证给定的解决方案花费更多的时间。这是这种普遍现象的一个例子。同样，如果有人告诉你，13，717，421这个数可以写成两个更小的数的乘积，你可能不知道该不该相信他，但如果他告诉你，他可以把它因式分解成3607乘以3803，那么你就可以用袖珍计算器很容易地验证这一点。发现所有完全多项式不确定性问题都可以转化为一类称为可满足性问题的逻辑运算问题。由于这类问题所有可能的答案都可以在多项式时间内计算出来，所以人们想知道这类问题是否存在确定性算法，可以直接在多项式时间内计算或搜索出正确答案。这就是著名的NP=P？猜猜看。无论我们是否熟练地编写了一个程序，确定一个答案是否可以用内部知识快速验证，或者在没有这种提示的情况下需要花费大量时间来解决，这被视为逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。这是史蒂文·科克在1971年提出的。

霍奇猜想

霍奇猜想是代数几何中一个重要的未解决问题。由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出，是关于非奇异复代数族的代数拓扑与其由定义子群的多项式方程表示的几何之间的相关性的猜想。20世纪的数学家发现了研究复杂物体形状的强大方法。

基本的想法是问我们可以在多大程度上通过将简单的几何积木与增加的维度结合在一起来形成给定物体的形状。这项技术变得如此有用，以至于可以用许多不同的方式来推广它；最终，它导致了一些强大的工具，这些工具使数学家们在对他们在研究中遇到的各种对象进行分类方面取得了巨大的进步。可惜在这种普及中，程序的几何起点变得模糊。从某种意义上说，必须加入一些没有任何几何解释的成分。霍奇猜想断言，对于所谓的射影代数族，即空之间特别完美的类型，称为霍奇闭链的分支实际上是称为代数闭链的几何分支的(有理线性)组合。

庞加莱猜想

庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，即“任何单连通闭的三维流形必是三维球面上的同胚。”

简单来说，闭三维流形是有界的三维空空间；简单连通是指在这个空空间中的每一条闭曲线都可以连续收缩成一个点，或者在一个闭的三维空空间中，如果每一条闭曲线都可以收缩成一个点，那么这个空空间一定是一个三维球面。三维情况由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼在2003年左右证明。2006年，数学界终于确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是拓扑学中具有基础意义的命题，它将帮助人们更好地研究三维空空间，它带来的结果将加深人们对流形性质的理解。

黎曼假设

黎曼猜想是关于黎曼函数零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。

猜测内容

有些数字具有特殊的性质，不能用两个较小整数的乘积来表示，例如2，3，5，7等。这样的数叫做质数；它们在纯数学及其应用中起着重要的作用。在所有自然数中，素数的分布不遵循任何规律；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到素数的频率与一个构造良好的所谓黎曼ζ函数(S)的行为密切相关。著名的黎曼假设断言，方程(s)=0的所有有意义的解都位于一条直线z=1/2+ib上，其中b是一个实数，这条直线通常被称为临界线。这已经在前15亿个解决方案中得到验证。证明它适用于每一个有意义的解，将会揭开围绕素数分布的许多谜团。

相对于费马猜想历经三个半世纪才得以解决，哥德巴赫猜想历经两个半世纪才得以幸存，黎曼猜想虽远非只有一个半世纪的记录，但在数学上的重要性却远超这两个知名度更高的猜想。黎曼猜想是当今数学界最重要的数学问题。

Young-Mills规范场的存在性和质量区间假设

基本粒子世界的物理定律是以宏观世界的牛顿经典力学定律的方式建立的。大约半个世纪前，杨振宁和米尔斯发现量子物理学揭示了基本粒子物理学和几何对象数学之间的显著关系。基于杨-米尔斯方程的预测已经在世界各地实验室进行的以下高能实验中得到证实:布罗克海文、斯坦福、CERN和筑波。然而，他们描述重粒子并且数学上严格的方程没有已知解。特别是，被大多数物理学家证实并应用于解释夸克不可见性的“质量间隙”假说，从未被证明在数学上令人满意。在这个问题上的进展需要在物理学和数学中引入基本的新概念。

ns方程解的存在性和光滑性

19世纪，一些科学家看到理论流体与工程实际相差甚远，试图在欧拉的理想流体运动方程中加入一个摩擦项。纳维尔1827年、柯西1828年、泊松1829年、圣维南1843年和斯托克斯1845年分别以不同的方式修正了欧拉方程。斯托克斯首先采用了动力粘性系数。现在，这些粘性流体的基本方程被称为纳维尔-斯托克斯方程。但是，由于N-S方程是数学中最难的非线性方程之一，所以很难找到它的精确解。到目前为止，精确解只有70个左右。

纳维尔-斯托克斯方程是流体力学中描述粘性牛顿流体的方程，至今尚未完全求解。目前只求解了一百个左右的特解，是最复杂的方程组之一。

贝尔和斯维内顿-戴尔猜想

Birch和Swinnerton-Dyer猜想是指有理数域中的任意一条椭圆曲线，L函数在1中的归零阶等于该曲线上有理点组成的Abel群的秩。

于。V. Matiyasevich指出希尔伯特的第十个问题是无解的，即没有一个通用方程来确定这样的方法是否有整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，Behr和Sveneton-Dale猜想认为有理点集的大小与一个相关的Zeta函数z(s)在点s=1附近的行为有关。特别是这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0，则有无穷多个有理点(解)，反之，如果z(1)不等于0，则只有有限个这样的点。