高中数学导数(高中数学导数知识点总结与应用)

一、导数概念介绍

1.导数的物理意义:

瞬时速率。通常，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率为

2.导数的几何意义:

当点接近p时，直线PT与曲线相切。很容易知道割线的斜率是

当点接近p时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即

3.导数函数:

当x变化时，它是x的函数，我们称之为f(x)的导函数。y=f(x)的导数函数有时被称为，即

。

二。导数的计算

初等函数的导数公式:

导数的算法:

复合函数的求导:

Y=f(u)，u=g(x)，那么y可以表示为x的函数，即y=f(g(x))是复合函数。

三、导数在函数学习中的应用

1.函数的单调性和导数；

一般函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在一定区间(a，b)内

(1)如果> 0，则函数y=f(x)在此区间内单调递增；

(2)若< 0，则函数y=f(x)在此区间内单调递减；

2.函数的极值和导数:

极值反映了函数在某一点附近的大小。

求函数y=f(x)的极值的方法如下:

(1)如果在附近左边> 0，右边< 0，则为最大值；

(2)若左侧< 0，右侧> 0附近，则为最小值；

3.函数的最大(最小)值和导数:

在[a，b]上求函数y=f(x)的最大值和最小值的步骤:

(1)求[a，b]中函数y=f(x)的极值；

(2)比较函数y=f(x)的极值与端点处的函数值f(a)和f(b)，其中最大值为最大值，最小值为最小值。

四。推理和证明

(1)合理推理和类比推理

根据一类事物的某些对象具有某种性质的事实，推导出该类事物的所有对象都具有这种性质，这就是归纳推理。归纳是一个从特殊到一般的过程，属于合理推理。

根据两种不同的事物之间的相似性(或一致性)来推断一种事物与另一种事物具有相似的性质，称为类比推理。

类比推理的一般步骤:

(1)找出两种事物的相似性或一致性；

(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得到明确的命题(猜想)；

(3)一般事物之间的性质不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么在另一个书写性质上可能相同或相似，类比的结论可能成立；

(4)一般来说，如果类比的相似性越多，相似性质与思辨性质的相关性就越多，那么类比得出的命题就越可靠。

(2)演绎推理(俗称三段论)

从一般命题推导出特殊命题的过程称为演绎推理。

(3)数学归纳法

1.它是一种递归的数学证明方法。

2.步骤:

A.n=1(或)时命题成立，这是递归的基础；

B.假设当n=k时命题成立；

C.证明当n=k+1时命题也成立。

信息资源联网成这两步后，就可以得出任意自然数(或n≥且n∈N)的结论都有效。

证明的方法:1。归谬法；2.分析方法；3.综合法；

解决问题的技巧

热点方向导数在方程中的应用

[示例1]

已知函数f (x) = x2-(a+4) x-2a2+5a+3 (a ∈ r)。

(1)当a = 3时，求函数f(x)的零点；

(2)若方程f (x) = 0的两个实根在区间(-1，3)内，求实数a的取值范围.

[方法规则]

用导数解决函数零点(方程根)问题的主要方法

(1)利用导数研究函数的单调性和极值，讨论极值的正负研究根问题；

(2)利用数形结合研究方程的根；

(3)利用导数和零点定理研究根的存在性；

(4)将其转化为不等式或最大值问题求解函数零点问题。

热点方向二阶导数在不等式中的应用

[方法规则]

用导数解决不等式问题的类型

(1)不等式永远成立:基本思想是求函数的最大值或函数值域的终值。

(2)比较两个数的大小:总体思路是在两个函数的差之后构造一个新的函数，通过研究函数的值和零的大小来确定比较的两个数的大小。

(3)证明不等式:对于只有一个变量的不等式，我们可以构造函数，然后利用函数的单调性和极值来求解信息资源块。