一阶函数的应用(八年级数学一阶函数的应用)

1.确定线性函数的表达式。

1.确定正比例函数的表达式需要一个条件；

确定线性函数的表达式需要两个条件。

2.求一阶函数表达式的主要步骤:

设一个线性函数表达式y = kx+b (k ≠ 0)，根据已知条件列出相关方程，求解方程求出k和b的值，将k和b的值带回表达式。

3.典型例子

①已知直线AB经过A点(2，1)和B点，其中B点是另一条直线y = x+2与Y轴的交点。

(1)求直线AB的表达式；

(2)点P在直线AB上，是否有点P使得△ △BOP的面积为1，如果有，写出满足条件的所有点P的坐标，

如果没有，请说明原因。

解决方案:

(1)根据题意，A(2，1)，B(0，2)，

设直线AB的表达式为y = kx+b (k ≠ 0)，则有2 = b，1 = 2k+b，解为k = -1/2。

所以直线AB的表达式是y = -1/2 x+2。

(2)设定点P的坐标为(a，-1/2 a+2)，

那么S△BOP = 1/2 OB∣ a ∣= 1/22 ∣ a ∣ = ∣ a ∣.

因为S△BOP = 1，所以∣a∣ = 1，所以a = 1或者a = -1。

所以点P的坐标是(1，3/2)或(-1，5/2)。

二、单一线性函数图像的应用

1.如何求一阶函数图像与坐标轴的交点:

在线性函数y = kx+b (k ≠ 0)中，当x = 0时，y = b，且点(0，b)为函数图像与y轴的交点；

当y = 0，x = -b/k，点(-b/k，0)是函数图像和x轴的交点。

2.线性方程与线性函数的关系:

从“数”的角度来看，当一次函数y = kx+b (k ≠ 0)的函数值为0时，对应的自变量的值就是方程kx+b = 0的解；

从“形”的方面来说，线性函数y = kx+b (k ≠ 0)的像与X轴的交点横坐标就是方程kx+b = 0的解。

3.典型例子

①如果线性函数y = kx+b (k ≠ 0)的图像如图所示，那么线性方程kx+b = 0的解就是(C)。

a、x = 2 B、y = 2 C、x = -3 D、y = -3

图(1)

②如图①所示，在同一条直线上，A从A点开始追赶匀速运动的B，图②所示为两人距离与经过时间的函数关系。如果B的速度是1.5 m/s，那么40 s后，A和B之间的距离是(C)

a、1.6米B、1.7米C、1.8米D、1.9米

图(二)

③当一辆旅游车从A返回B时，旅游车到B的距离y (km)与行驶时间x (h)的函数关系如图所示。

(1)A和B之间的距离是多少公里？

(2)求这个函数的表达式和自变量x的取值范围。

图(三)

解决方案:

(1)A和B之间的距离是360公里。

(2)从图中可以看出，图像经过点(1.5，240)和(0，360)，

函数表达式为y = kx+b，则360 = b，240 = 1.5 k+b，

得到k =-80，b = 360。所以y = -80x+360。

当y = 0时，则0 = -80x+360，结果x = 4.5。

所以自变量x的取值范围是0 ≤ x ≤ 4.5。

三、两个线性函数图像的应用

在同一个坐标系中，同时存在两个线性函数的像，即两条直线。利用给定图像的位置关系，交点坐标，与X轴和Y轴的交点坐标，读出要表达的信息，理解交点坐标的含义。

在两个函数的图像中，对应于哪个函数在上面的图像的函数值较大。

1.使用两个线性函数的图像解决实际问题:

图为一艘轮船和一艘快艇沿同一航线从A港驶向B港的图像，根据图像回答以下问题:

(1)在船舶和快艇中，快艇的速度较高；

(2)当时间为0 < x < 4时，快艇在船后；当时间为4 < x < 8时，快艇在船的前面。

(3)快艇出发2小时追船。

图(4)

2.看着图像做决定:

某通信公司推出①②两种通信收费方式供用户选择，一种有月租费，一种无月租费。

两种计费方式的通信时间x(分钟)与费用y(元)的函数关系如图所示。

图(五)

(1)月租计费方式为①(填写①或②)，月租30元。

(2)充电法①中，Y与X的函数关系为Y1 = 0.1x+30；

在充电法②中，Y和X的函数关系为y2 = 0。2x。

(3)根据图像，当通话时间为0 ≤ x < 300分钟时，选择通话方式②是实惠的；

当通话时间为400分钟时，使用通话模式①更经济。

3.典型例子

化妆品公司支付给销售人员的月薪有两种方案:

方案一:没有底薪，只有销售提成；

方案二:底薪加销售提成。

已知每件商品的销售提成方案二比方案一少7元，假设销售人员每月销售X件商品时的月薪为Y(元)，如图。

L1表示方案1中Y和X之间的函数图像，L2表示方案2中Y和X之间的函数图像。

图(6)

(1)找出L1所代表的函数关系；

(2)方案二中销售人员的月基本工资是多少？

(3)当销售数量是什么时，两种薪资方案得到的薪资金额相等？

解决方案:

(1)L1表示的函数关系是y1 = 14x。

(2)由于每件商品的销售提成方案二比方案一少了7元，y2 = (14-7) x+b，

代入(30，560)得到560 = 7 30+b，得到b = 350。

因此，在方案2中，支付给销售人员的月基本工资为350元。

(3)从题意来看，方案1的佣金是420 30 = 14(元)，所以方案2的佣金是14-7 = 7(元)。

当卖出m件时，两种工资方案得到的工资是相等的。从题的意思来说，14m = 350+7m，解就是m = 50。

当销售数量为50件时，两种工资方案得到相同的工资金额。