孪生素数(张的孪生素数猜想)

1.

孪生素数猜想是数论领域最著名的猜想之一。自从它被提出以来，就一直困扰着数学家。孪生素数是指那些相差2的素数对，比如3和5，5和7，11和13，17和19，599和601...除了第一对孪生素数(即3和5)，每对孪生素数中的第一个素数总是小于6乘1的倍数。因此，第二个孪生素数总是比6的倍数大1。孪生素数猜想是指自然数集合中有无穷多对这样的孪生素数。

在详细讨论孪生素数猜想之前，我们先来看看素数的一些定律。首先，除了2，所有的质数都是奇数。偶数总是比6的倍数大0、2或4，而奇数总是比6的倍数大1、3或5。奇数的三种可能中，有一种会引发问题，即如果一个数大于6的倍数乘以3，那么它的因子就是3。这意味着这个数不是质数(3本身除外)。这就是为什么三分之一的奇数不是质数。

1849年，法国数学家阿方斯·德·波利尼亚克提出了孪生素数猜想。在接下来的160年里，数学家们几乎没有在这个领域取得任何进展。但是在过去的十年里，数学家们取得了飞速的进步。比如，既然证明有无穷多个差为2的素数那么难，那我们能证明有无穷多个差为7000万的素数吗？2013年，数学家张完美地证明了这一点。

在过去的六年里，包括陶哲轩在内的数学家们一直在努力缩小这种质数差异。目前最好的成绩是246。虽然没办法知道会不会从246减到2，但是数学家们已经离孪生素数猜想的最终解越来越近了。

2.

9月7日，数学家威尔·萨温和马克·舒斯特曼发布了一个证明，为孪生素数猜想的研究开辟了一条新的道路。

新的证明是在一个叫做有限数系的环境中讨论孪生素数猜想。在一个有限的数字系统中，可能只有几个可用的数字。这个数值系统叫做“有限域”。虽然它是一个非常小的领域，但它们保留了无限整数的许多数学性质。数学家们一直试图解决有限域中的算术问题，然后将结果转换成整数。

当对孪生素数猜想的研究处于停滞状态时，数学家们认为要想彻底解决这个问题，就必须提出一种新的方法，而有限数系就是一个很好的选择。

要构造一个有限域，首先要从自然数中抽取一个有限的数子集。比如取最小的五个自然数，或者取一些质数。此外，我们需要改变呈现数字的方式。在通常的想象中，数字是沿着一个数轴展开的，这里我们需要把数字想象成钟面上的数字系统(如下图)。

○有限数制。有限域包含有限数量的元素。|图片来源:广达杂志

例如，在只有五个元素的有限数字系统中，4+3 = 2。在这个系统中，其他操作遵循类似的规则。但是在有限域中，众所周知的质数概念是没有意义的，这里的每一个数都可以被其他数整除。比如7本来是不能被3整除的，但是可以在只有5个元素的有限域中。这是因为在这个有限域中，7和12是相同的，它们在钟面上处于2的位置，所以7除以3等于4等于12除以3。

因此，有限域中孪生素数的猜想与素数多项式有关。什么是素数多项式？假设有限域中数量为1、2、3。在这个有限域中，多项式以这些数为系数，一个素数多项式就是一个不可分解的多项式。比如x+x+2是素数多项式，因为不能因式分解；X-1不是素数多项式，但可以分解成(x+1)和(x-1)的乘积。

什么是孪生多项式？这是指一对素数多项式，它们的差是一个固定的区间。比如x+x+2是一个素数多项式，x+2x+2也是一个素数多项式，两者之差是一个多项式x，孪生素数猜想的有限域版本说，孪生素数多项式的差为x的有无限对，它们可以相差任意距离。

3.

有限域和素数多项式看起来太做作，但这样做的好处是数学家可以把整数问题变成多项式问题，可能比整数更容易处理。

20世纪40年代，法国著名数学家安德烈·韦尔(Andre Weil)发明了一种方法，可以将小型数字系统中的算术精确地转换为整数算术。这一发现将有限域的概念推向了公众视野。在有限域的设置中，可以利用几何中的一些技巧来回答与数有关的问题。这是有限域独有的性质，很多问题都是用这种几何重述解决的。

有了这个思路，我们可以把每个多项式想象成空之间的一个点，把多项式的系数看成是定义多项式位置的坐标。以上面提到的1，2，3的有限域为例。多项式x+3是两个维度空之间的点(1，3)。

更复杂的多项式只能通过增加表达式的最高次幂来构造，所以即使是最简单的有限域也有无穷个多项式。例如，多项式x3x 1可以用三维空空间中的一个点(1，-3，-1)来表示，多项式3x+2x+2x3x+x2x+3可以用八维空空间中的一个点来表示。这个几何空表示给定有限域中的所有多项式。

利用这种几何方法，Sawin和Shusterman证明了有限域中关于素多项式的两个结果:

孪生素数猜想在有限域上是正确的:孪生素数多项式有无限对，任意间隔。

该研究为寻找给定幂指数的多项式中孪生多项式的个数提供了一种精确的计数方法。这就像知道在一个足够大的数值范围内有多少个孪生素数一样。

第二个结果是数学家们一直梦寐以求的。他们的证明表明，近80年后，数学家们仍在积极遵循怀伊对有限域的应用。现在，其他研究孪生素数猜想的数学家将在Sawin和Shusterman的基础上继续。

参考来源:

https://arxiv.org/pdf/1808.04001.pdf

https://www . quanta zine . org/big-question-about-primes-proven-in-small-number-systems-2019 09 26/

https://www . math . UCLA . edu/news/terry-Tao-PhD-小素数和大素数之间的差距