什么是质数(质数的魅力)

这些密不可分的素数还在展现新的数学奥秘。

2018年3月20日，挪威科学与文学研究院宣布将今年的阿贝尔奖授予美籍加拿大数学家罗伯特·朗兰兹(Robert Langlands)，以表彰他在数学领域的终身成就。他提出了以自己名字命名的数学理论“朗兰兹纲领”，通过与素数的共同联系，将几何、代数、分析等概念结合起来，在数学的众多分支之间架起了一座“桥梁”。

罗伯特·朗兰兹，著名的朗兰兹计划的作者。他在1996年获得了沃尔夫奖。2007年，他获得了数学科学邵氏奖。2018年获得阿贝尔奖。

届时，挪威国王将为朗兰兹颁奖，向这一最新科研成果致敬。质数可以说是数学领域最大最古老的数据集。2300年来，数学家们一直在探索它的奥秘。那么是什么吸引了无数优秀的数学家千百年来致力于素数的研究呢？

寻找素数的过程

为了研究质数，数学家将正整数通过质数筛选算法，直到只剩下质数。在19世纪，通过试错法获得百万以内的素数列表。当然，现代计算机可以在不到一秒的时间内找到数十亿以内的质数，但所用筛选方法的核心思想自2000年以来从未改变。

公元前300年，亚历山大的数学家欧几里德描述道:“质数是只能被1计数的数。”这意味着一个质数不能被除了1以外的任何比它小的数整除。而且为了保证整数分解的唯一性，数学家也不把1当成素数。此外，欧几里德还证明了素数的个数是无限的，无穷的。

公元前200年左右，古希腊数学家厄拉多塞提出了素数快速筛选法，这是一种简单而历史悠久的寻找一定范围内所有素数的筛选方法。

在2~100范围内，经过2，3，5，7筛选后剩下的所有素数

厄拉多塞素数筛选法的思路是:首先，留下2，划掉2的倍数；2后面第一个没划掉的数是3，留3，划掉所有3的倍数；然后留下5，划掉所有5的倍数；留下7，划掉所有7的倍数。这样，最小的四个素数的倍数——2，3，5，7——就被依次筛选出来了。此时，下一个未过滤的11的平方已经大于100，所以停止。这样，2到100之间的整数只执行这四个过滤，只剩下质数的集合。

从1到100之间的数字中筛选出2、3、5和7的倍数，剩下质数。400以内的所有引物可以通过8个筛选步骤分离。通过168次筛选，100万以内的素数都可以分离出来。这就是埃利希筛法的长处。

将素数列表的早期代表人物是英国数学家约翰·佩尔，他致力于将有用的数字列表。其研究动力来源于古希腊数学家丢番图提出的古代算术问题的研究热情，也来源于个人对数学真理系统性整合的追求。由于他的不懈努力，18世纪初10万以内的质数被广泛传播。到1800年，各种独立的研究项目已经列出了所有一百万以内的质数。

从左至右，1611-1685年英国数学家约翰·佩尔，1741-1808年德国数学家卡尔·弗里德里希·兴登堡，1793-1863年奥地利数学家雅各布·菲利普·库利克。

为了自动化这项繁琐的筛选工作，德国数学家卡尔·弗里德里希·兴登堡(Carl Friedrich Hindenburg)使用了一个可调节的滑块，它可以一次性消除整篇论文的所有倍数。另一种技术含量低但有效的方法是使用模板来定位特定素数的倍数。到19世纪中叶，数学家雅各布·库利克启动了一个雄心勃勃的项目:找到1亿以内的所有素数。然而，直到库利克去世，这些作品还没有完成，但已经找到的素数填满了4212页的表格。

如果卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)没有决定自己对素数进行分析和整理，那么19世纪这样一组“大数据”的结果可能仅限于用作素数的参考表。

17世纪，对数表的诞生极大地促进了天文学和航海的蓬勃发展。作为高斯生日礼物的对数参考书，附上一张小于300万的质数表，但这张在别人看来毫无用处的表却引起了他的浓厚兴趣。他开始从事数据分析和统计工作。

他每次以1000为一组来计算这个范围内的质数。先数1000以内的素数，然后是1001到2000之间，再是2001到3000之间，以此类推。然后，高斯开始探索这个别人不感兴趣的质数列表。

高斯发现，随着数值的增加，素数出现的频率会逐渐减少，遵循“反数”定律。高斯的素数分布定理虽然没有计算出素数的确切个数，但是他给出了一个非常好的近似。比如根据素数定理，预测1000000到1001000之间有72个素数，但正确结果是75个，误差在4%左右。这让他提出了一个猜想:不大于x的素数的个数在哪里，也就是说，当x趋近于无穷大时，以下公式成立:

直到这个猜想提出一个世纪后，这个被称为素数定理才被证明。

(x)、x/lnx和(x)/(x/lnx)的比较

随着素数计数范围的增大，估计值与真实值之间的相对误差将趋近于零。悬赏百万奖金，当今数学七大难题之一的黎曼假设也描述了高斯定理估计的精度。

素数定理和黎曼猜想一直被人们广泛关注，但早期都是从素数表枯燥的数据分析开始的。现在，我们获取数据方式来自于计算机程序的运行，不再需要手工筛选，但数学家们仍在寻找素数研究的新模式。除了2和5，所有的质数都以1、3、7或9结尾。在19世纪，人们发现这些最后的数字在质数中有相同的频率。换句话说，如果数到100万，质数的25%的最后一位数是1，25%的最后一位数是3，25%的最后一位数是7，25%的最后一位数是9。

素数最后一位数字的分析

除了2和5，所有的质数都以1、3、7或9结尾。在19世纪，人们发现这些最后的数字在质数中有相同的频率。

图表来自:马丁·威斯曼的《对话》

几年前，斯坦福大学的数论学家莱姆克·奥立佛(Andrew Oliver)和坎南·索达拉詹(Kannan Soundararajan)在实验中观察素数及其下一个相邻素数的最后一位数规则时，意外发现了一个问题。比如23之后的质数是29，它们的最后一位数是前3和后9。那么，两个相邻素数的词的最后一位数是常见于前3后9，还是常见于前3后7？

100，000以内连续质数的最后一对数字出现的频率。相同的颜色意味着最后一个数字对具有相同的间距值。(M.H .魏斯曼，抄送)

数学家预期会有一些差异，但实验结果远远超出预期。相邻素数的最后一对数字按照不同的距离分组，比如23和29之间的距离是6。发现像23和29这样的前3对和后9对素数的比例超过了前7对和后3对素数，虽然两种情况下相邻素数对之间的距离都是6。虽然数学家很快给出了更可信的解释。然而，当涉及到对连续素数的研究时，数学家们大多局限于分析数据以寻找合理解释的阶段。看来离揭示真相的唯一标准——数学证明还有很长的路要走。