香农采样定理(香农理论的通俗解释)通信M监控2018-12-16 17:33:42

【通信技术基础第八讲】

佛说:一花一世界，一叶一菩提。

一花一世界，一叶一菩提。

我们看到和听到的世界是连续的。亮度、暗度、高度、大小、速度...都是持续的变化。如果把这些变化画在坐标轴上，就会变成连续的信号，教科书上称之为模拟信号。然而，我们的电子设备正在处理0-1信号。本文提到的采样定理是模拟信号和数字信号之间的桥梁。

图片:网络；声音数字化过程和恢复过程

如上图所示，一个同学的唱歌声音被麦克风录了下来，是一个连续的模拟信号。然后通过声卡转换成数字信号，可以存储和计算。如果你需要听这个声音，那就用声卡恢复。

所以我们不禁要问，模拟信号如何数字化，数字化后能不能不失真地恢复？

下图告诉我们，模拟信号m(t)需要经过采样、量化和编码才能成为数字信号，然后在信道中传输。其中，采样是第一步，也是至关重要的一步。

图片:网络；模拟信号数字化

如果让孩子解决这个问题，他们也会认为对于一条连续的曲线，如果我在里面画一些点，这些点会不会变成离散的信号？然后我们将其量化并编码成数字信号。没错，我们这篇文章想说的是，如何采样，以什么频率采样？

图片:网络；“过滤”模拟信号

脉冲采样

我们之前研究过脉冲函数，我们把脉冲函数乘以函数f(t)得到脉冲处的函数值，我们当时称之为“滤波”特性。是的，这是取样。

假设函数为f(t)，采样函数为p(t)，周期脉冲函数，现在我们用p(t)对f(t)进行采样，采样结果为fs(t)。这三个函数的频域表达式分别为F(w)、P(w)和Fs(w)。

信号f(t)的傅里叶变换为F(w)，最大频率为Wm。采样函数p(t)的傅里叶系数为Pn，傅里叶变换为P(w)，则fs(t)=f(t)*p(t)，其傅里叶变换为Fs(w)。在这种情况下，采样信号fs(t)由一系列脉冲函数组成，每个脉冲函数的间隔为Ts，强度等于连续信号的采样值f(nTs)，如上图所示。

周期信号的傅里叶变换

我们用周期脉冲信号来采样原始信号？周期间隔Ts是如何确定的？如果间隔太大，似乎会丢失太多信息；如果间隔太小，是不是信息又有点多余了？

采样频率选择稀疏点？还是更密集？

时域采样定理

一个频率受限的信号f(t)，如果频谱只占-Wm~Wm的范围，可以用等间距的采样值唯一地表示。并且采样间隔必须不超过1/2fm，Wm=2**fm，或者最低采样频率为2fm。即Ws≥2Wm。

通常我们的最低采样频率叫做fs=2fm，奈奎斯特频率，最大允许采样间隔Ts=/Wm=1/2fm叫做奈奎斯特间隔。

图片:Wiki；不同采样频率fs引起的波形波动

因此，这就是著名的香农采样定理，也称为奈奎斯特采样定律。为什么还有另一种香味？

采样定理最早由美国电信工程师h .奈奎斯特于1928年提出，因此被称为奈奎斯特采样定理。1933年，苏联工程师Kotelnikov首次将这个定理严格公式化，因此在苏联文献中被称为Kotelnikov采样定理。1948年，信息论的创始人C.E .香农明确解释了这个定理，并正式引用为定理，因此在很多文献中也被称为香农抽样定理。

抽样定理

采样频率的选择在时域上很难判断，虽然我们一般认为采样频率越密集越好。但是我们从另一个角度来看频域。如果我们得到一个完整的F(w)，那么根据傅里叶逆变换，我们可以得到一个完整的f(t)。好的，所以信号被我们恢复了。

由于采样信号fs(t)的频率是根据采样频率fs左右偏移的，如果这个fs小于fm的两倍，那么在偏移的过程中波形必然会相互影响，从而频域中的波形会失真。我们用失真的波形来还原f(t)，势必与现实不符。(图中显示为角频率w)

从频域来看，采样定理很明显，就是防止波形叠加失真。

压缩传感

班长在学校的时候，压缩感知的研究内容非常流行。实际上，当信号满足一定条件时，我们不需要以两倍的频率进行采样。即当信号稀疏或可压缩时，我们可以通过线性投影得到信号的压缩表示，得到的数据可以重构出无失真或低失真的原始数字信号。

图片:网络；压缩传感

学习压缩感知需要一定的线性代数基础，后面的文章班长会详细阐述，这里就不赘述了。

图片:网络；图像处理领域的问题

摘要

问一个问题:我们的耳朵可以识别频率为20Hz到20Hz的声音。这个范围随着年龄的增长而变窄。但是我们数字音频的采样率已经达到了44.1千、48千和96千赫。

图片:网络；左侧为示波器显示的连续声音信号，右侧为44kHz采样。

明明20kHz*2=40kHz就够了？为什么还有这么多？

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