麦克斯韦方程的详细解释(最美丽的物理公式的综合分析)

很久以前，人们发现电荷和磁铁之间存在力，但起初人们并没有将这两种力联系起来。后来发现有些被闪电击中的石头是有磁性的，所以推测可能是电和磁有某种关系。直到奥斯特、法拉第等人的努力，人们才终于意识到电与磁的关系密不可分。人们用磁铁制造发电机，也用电流制造电磁铁。

然而，麦克斯韦揭示了电和磁之间最深刻的物理关系。麦克斯韦通过由四个方程组成的方程，解释了宇宙中最深刻的力——电和磁的关系，统一了电场和磁场。麦克斯韦方程自诞生以来就被认为是世界上最美丽的物理公式。

这篇文章将带领你了解麦克斯韦方程组的发现过程和具体含义。在这个过程中，需要引入一些数学基础。虽然大多数人很难理解这个过程，但当你真正理解麦克斯韦方程组时，你会和我一样惊讶于它的和谐与美好。

合昌线

1758年，法国物理学家库仑首次研究了电荷之间的作用力，提出了库仑定律:两个电荷之间的作用力与电荷的乘积成正比，与两个之间的距离的平方成反比。

此后，科学家们一直在争论电荷间作用力的方式:有人认为电荷间的作用力不需要时间和空，一个电荷会在瞬间对另一个电荷施加作用力，这就是所谓的“超距作用”。

随着科学的发展，远距离行动的观点越来越受到人们的怀疑。最后，英国科学家法拉第提出了“电场”的概念。

法拉第认为电荷周围有一种物质，看不见摸不着，但它存在，可以在空之间传递。当电场转移到另一个电荷时，它会对另一个电荷施加力。相反，第二电荷也将产生电场，这将对第一电荷产生反作用力。也就是说，电荷之间的作用是通过电场传递的。

1851年，法拉第还创造性地提出了一种描述电场的方法:一组带箭头的曲线代表电场，曲线的切线方向代表电场的方向，曲线的密度描述电场的强度。例如，空之间由单个正电荷和一个正电荷与一个负电荷形成的电场如下:

这种描述场的方法称为“场线”，可以用来描述电场或磁场。人们可以用各种方法模拟磁力线。例如，法拉第利用磁铁周围的铁屑模拟磁感应线。

而场线为人们以后研究许多问题提供了便利。

电磁学、磁学和发电

第一个发现电和磁之间关系的人是丹麦物理学家奥斯特。

1820年，奥斯特在给学生上课时，不小心把一根带电的直导线放在了小磁针上面。他惊讶地发现小磁针居然偏转了！在场的同学都没有发现这个惊人的现象，只有奥地利对这个发现感到兴奋。

经过仔细研究，奥斯特提出了电流对小磁针的作用方式。从我们今天的观点来看，奥斯特实际上澄清了以导线为中心的带电导线周围存在环形磁场。后来，科学家安培指出了磁场的方向判断方法:右手螺旋法则。

当奥斯特发现电流可以产生遍布全球的磁场时，英国的法拉第刚满30岁，他还在为化学家大卫工作。很多人怀疑大卫嫉妒用各种方法压制法拉第，比如强迫法拉第做光学研究。直到1829年大卫去世后，法拉第才开始研究他感兴趣的电磁问题。

法拉第认为:既然电流可以产生磁场，磁铁也应该产生电流。因此，法拉第进行了一系列物理实验，最终在1831年发现了电磁感应现象。

两条不同的电线缠绕在一个铁环的两侧。当电流通过第一根导线时，另一根导线上也会产生电流。法拉第解释说:这是因为第一电路的电流发生变化，产生的磁场也发生变化，变化的磁场可以产生电流。

我们也可以做这样一个实验:在螺线管中插入一块磁铁，螺线管与电流表相连，你也会发现电流表上有读数。这也满足了法拉第所说的“在运动和变化的过程中，磁场可以产生电流。”

通过奥斯特、法拉第等人的发现，人们认识到电和磁不是分离的，而是密切相关的。有些人甚至认为电和磁似乎是同一个问题的两个方面。

麦克斯韦方程的数学基础

1860年，比法拉第小40岁的年轻科学家麦克斯韦来到法拉第身边。他向法拉第提交了他之前发表的论文《论法拉第力线》。法拉第喜出望外，对麦克斯韦说:你不应该局限于用数学来解释我的观点，而应该有所创新。

在法拉第的鼓励下，麦克斯韦进一步发展了自己的观点，最终总结出由四个方程组成的麦克斯韦方程组。为了理解这四个方程，我们首先需要两个数学运算:通量和路径积分。

第一个概念是通量。如果电场E垂直穿过一个平面S，我们称之为电场E与面积S电场通量的乘积。如果电场E与平面S的法线成一定角度，我们可以正交分解电场，然后将垂直于平面的分量乘以面积，得到电场通量。

因为电场E可以用电场线的密度来表示，所以电场E乘以面积S实际上代表了通过这个表面的磁感应线的数量。如果各处电场不一样，就要把面积分成无穷多个部分，加上每个部分的电场通量。

数学表达式是:

类似地，当磁场通过表面时，磁通量可以用同样的方式定义。用整数符号书写:

第二个概念是路径积分。如果电场e沿着路径AB的方向，则可以通过将电场e乘以路径AB的长度L来获得路径积分。如果电场E与路径AB的方向成一个角度，则电场被分解，沿着方向AB的场分量乘以路径长度l，磁场具有类似的路径积分。

如果电场或磁场处处不同，我们可以把路径AB分成无穷多个部分，把每个部分的路径积分相加，表示为:

注意，路径不一定是直线，但沿着曲线有路径积分。

麦克斯韦方程

现在我们知道向量可以计算通量或路径积分。所以我们可以理解这四个伟大的方程。

1.电场的活性

麦克斯韦方程组的第一个方程从数学上表达了法拉第的第一个观点:电荷会在空周围产生电场。正电荷会向外发射电场线，而负电荷会从周围吸收电场线。电荷越大，发射或吸收的电场线就越多。

如果我们用一个封闭表面包围一个电荷，那么这个封闭表面上的电场通量代表电场线的数量。因为这些电场线都是由曲面中的电荷发射的，所以它们与曲面中所有电荷的代数和成正比。需要注意的是，无论我们选择什么形状的曲面，只要它围绕着相同的电荷，它的电通量都是一样的。如果电荷在封闭曲面之外，其发出的电场线不仅会穿透曲面，还会穿透曲面，这样就不会对曲面的电通量有贡献。因此，方程中考虑的电荷是曲面内部的电荷。

用公式书写

在这个公式中，等号左边的部分代表封闭曲面上的电通量，即通过曲面的电场线的数量，等号右边的q代表曲面内电荷的代数和，0称为真空介电常数。这个方程是麦克斯韦方程中的第一个方程，也被称为高斯电场定律。这个方程告诉我们，电场是一个主动场，它的来源是空空间中的电荷。

2.磁场的无源性

与电场不同，无论是磁铁产生的磁场还是电流产生的磁场，磁感应线总是闭合的。磁感应线既没有起点也没有终点。例如，我们可以通过观察通电螺线管的磁场来发现这一特征。

因此，如果我们在空之间做一个封闭面，磁感应线要么不穿透这个面，要么必须同时穿透这个面和这个面，所以磁感应线的通量为零。

这样，麦克斯韦方程组的第二个方程可以写成:

这个方程叫做高斯磁场定律。它告诉我们磁场是被动的，没有起点也没有终点，永远是封闭的。

3磁场的回路积分

麦克斯韦方程组的第三个方程是解释法拉第电磁感应定律。

例如，当磁铁接近线圈时，线圈中会产生感应电流。法拉第等人认为这是因为当磁铁靠近时，线圈中的磁通量发生变化，产生的电动势与磁通量的变化率成正比。

经过思考，麦克斯韦提出了一个假设:电动势的产生是由于一种电场推动了电荷，所以不断变化的磁场会产生涡流电场。如果导体恰好处于涡流电场中，导体中就会产生感应电流。此外，这个涡流电场的大小与磁通量的变化率成正比。

因此，麦克斯韦写下了第三个方程:

方程的左边表示沿闭合路径的电场路径积分，可以表示这个闭合路径上的电动势。而右侧代表磁场变化率的面积通量，即磁通量的变化率。

这个方程从数学上解释了法拉第电磁感应定律的成因，也可以描述为一个旋转电场。

4.磁场路径积分

从奥斯特时代开始，人们就意识到电流周围存在磁场，磁感应强度与电流成正比。麦克斯韦在数学表达式中写道:

左边的等号表示磁场在任意闭合路径上的路径积分，右边的等号表示这个闭合路径所包围的电流之和。

然而，麦克斯韦的思想并不仅限于此。麦克斯韦假设:既然变化的磁场可以形成涡旋电场，那么变化的电场自然可以形成磁场。例如，电路中有一个电容器，在电容器充放电过程中，导线周围有磁场。电容器中的电场会发生变化，其位置应与电流相等。因此，麦克斯韦提出了位移电流的概念:变化的电场相当于电流。

最后，麦克斯韦写下了第四个方程:

左边的等号表示磁场沿任意路径的路径积分，右边的零表示真空磁导率，I表示沿该路径的电流和封闭电场通量。这个方程表明，电流和变化的电场都能产生磁场。

麦克斯韦预测

麦克斯韦方程是人类历史上最美的物理方程，具有很强的对称性和自洽性。它告诉我们，电场和磁场不是单独存在的，而是统一在电磁场中的。

不仅如此，麦克斯韦还通过计算证明:如果真空中存在振荡电场，那么在振荡电场的周围就会产生磁场，而这个磁场又会进一步产生电场...如此往复，电磁场可以传播很远，形成电磁波。

麦克斯韦计算了电磁波的速度，发现真空中电磁波的速度正好等于光速，于是他大胆预言光是电磁波。

至此，经典物理达到了极致，物理学家的信心极度膨胀。因此，1900年物理学家齐聚一堂时，开尔文爵士自豪地宣称，物理学的大厦已经基本建成，后人只需要做一些修修补补就可以了。

不幸的是，麦克斯韦并没有亲自证实预测的电磁波。1879年，麦克斯韦去世，享年48岁。同年，现代物理学最伟大的科学家爱因斯坦刚刚诞生。

在麦克斯韦之前，最伟大的物理学家是牛顿，因为他的万有引力定律统一了天地，他证明了月亮和苹果遇到了相同的物理定律。麦克斯韦之后最伟大的物理学家是爱因斯坦，因为他的狭义相对论和广义相对论统一了时间和空，这让人们意识到世界实际上存在于统一的时间空。在牛顿和爱因斯坦之间，最伟大的物理学家是麦克斯韦，他的方程统一了电场和磁场，他预言的电磁波成为现代最重要的通信方式。甚至爱因斯坦的相对论，在某种程度上也是处理麦克斯韦方程的协方差。

虽然有些人活得不长，但他们灿烂的思想却永远留在这个世界上。

麦克斯韦