有理数和无理数(从有理数和无理数的比较开始)

有理数不计其数。

无理数数不胜数。

谁有更多？还是同样的金额？

无限和无限，你能比较谁多谁少吗？

数轴上的点对应有理数还是无理数？

有理数和无理数在数轴上是如何分布的？

如何比较无限

当我们比较有限的数字时，我们只需要比较具体哪个数字更大。鸡有两条腿，兔子有四条腿，所以兔子有更多的腿。有理数无数，无理数也无数。也许我们可以认为有无数个数字，都是取之不尽用之不竭的。然后就是一样多，但其实无穷也可以分大小，因为有限个数的方法不能用在无穷的情况下。

怎么是无限的？

所有正数和负数一样多。

取正集合中任意一个正数，就可以在负集合中找到与之对应的唯一负数。比如正集合中取1，负集合中会有-1，正集合中取它，负集合中会有-1，如果有正数，就会有对应的负数。

我们可以在正集合和负集合之间建立一一对应关系。所以正数和负数一样多。

同理，我们可以得出结论，奇数和偶数一样多。

取任意奇数2n-1，会有一个偶数2n与之对应。同样，我们可以在奇数和偶数集之间建立这种一对一的对应关系，所以奇数和偶数的数量一样多。

我们把集合中的元素个数称为集合的基数，例如，集合{1}的基数为1，集合{1，2}的基数为2。

判断无限集合基数相等的方法是在两个集合之间建立一一对应关系。

第二，整体可以等于部分

如果关于无穷大的比较就像上面一样简单，那么让我们继续看。

所有偶数和所有整数一样多。

什么事？偶数不是和奇数一样多吗？奇数和偶数一起构成整数。为什么偶数和整数一样多？

整数集中的任意整数n在偶集中都会有与之对应的数2n，所以我们仍然可以建立整数集与偶集的一一对应关系，偶集中的任意偶数都会有与之对应的唯一确定元素。

整体等于部分！这是一种我们不可能在有限中存在的情况，但它确实发生在无限集合中。

让我们看另一个图形示例。在△ABC中，假设BC边为2，DE为BC边对面的中线，所以DE=1。取BC边上的任意M点，连接AM，那么AM和DE必然有一个交点，表示为N，任意M点都会有与之对应的N点。

这意味着长度为2的线段上的点与长度为1的线段上的点一样多！！！

格奥尔格·坎特甚至把这作为无限集合的定义:如果一个集合能与它的一部分形成一一对应，那么它就是无限集合。

知道了无穷大的性质，我们得出结论:自然数、偶数和整数的个数是一样的。你可能会质疑，既然它们都是无限的，那么数量也是一样的。为什么我们需要讨论这么多？

需要，这些集合的基数相等，因为它们有一个共同的特征:可数性。

所谓可数，可以理解为能够找到一个规则，把所有的序列都列出来，然后按照这个顺序一直数下去。

例如，自然数，0，1，2，3，4，5...例如，偶数，0，2-2，4-4，6-6...而且只要把它们都列出来，就可以建立一一对应关系，按顺序对应就好，即使不知道具体的规律，所以只要它们是可数的，集合中的元素就可以说。

第三，有理数是可数的吗？

可数的

有理数可以用Q/P的形式表示，取有理数的正数部分。我们可以根据p+q的值从小到大列出所有的正有理数。具体订单请参考下图。

根据上述规则，所有正有理数都可以列出，负有理数也可以列出。

所以有理数集也是可数集。

补充可数集的概念:能与自然数集建立一一对应关系的集合。

可数集的基数是最小的无限量，Cantor将这个量记录为0(希伯来语，发音为“Alev zero”)。同时，康托指出，Alev零是最小的无穷大。大于Alev零的无穷大在哪里？

第四，上台！不合理的

无理数可数吗？还是实数可数？

答案是:没有

康托尔的对角线方法被用来证明这一点。证明的过程很短，但可以称之为精美！(妈妈问我为什么跪下来看系列书)

考虑整组实数是否可数，首先考虑0到1之间的实数是否都是可数的。假设有一个规则可以列出0到1之间的所有实数:

0.1598545445……

0.6589745454……

0.5968974132……

0.9887946456……

0.3521587487……

0.1659842412……

……

以上数字是随便写的。这时，康托问，0.267865在哪里？

你是怎么得到这个号码的？取第一个数加1的第一个小数，第二个数加1的第二个小数，第三个数加1的第三个小数，第四个数加1的第四个小数...也就是上面数字中的红色数字加1。

如果0.267865...是在第n个位置，它的第n个小数应该等于第n个数的第n个小数(也就是它本身)加1。

简单来说，这个数的第n个小数等于它自己的第n个小数加1。显然这是不可能的！

因此，没有办法列出所有0到1之间的实数，当然也没有办法列出所有的优点。

像这样的无穷叫做不可数无穷。不管你承认与否，它也是无限的，可以分为不同的类别。无理数集和实数集称为不可数集。

取数轴上的任意一条线段，这些连续点组成的集合就是一个不可数的集合，也称为连续统。基数是c。

第五名c=ℵ1

既然已经明确有理数代表可数无穷大，而无理数代表信息资源的不可数无穷大，那么谁更可数或不可数呢？换句话说，0和C哪个更大？

其实从概率的角度来说，如果取数轴上的任意一点，得到有理数的概率是0。

无理数是无限非循环小数。有理数包括整数、有限小数和无限循环小数。我们可以把整数和有限小数想象成后面有零个小数位的数字。例如，1.8 = 1.800000...后面还有零个小数位。

现在，我们用小数位填充一个数字。我们需要填写的小数位数不计其数，填写的数字都是随机选取的，所以取0或者得到一列循环数的概率是0。有了这样的想法，无理数不仅比有理数多，而且多得多！

怎么可能有比无限更多的信息资源？

对于集合{1}，它有两个子集:空集合和{1}，子集的基数为2.1；对于集合{1，2}，它有四个子集空集合{1}、{2}和{1，2}。由子集组成的集合的基数是2.2，以此类推。如果一个集合的基数为N，则由子集组成的幂集的基数为2 N。

如果原始集合的基数为0呢？

其实康托已经证明了C = 2 0，其中0是无限的，那么你能想象C有多大吗？

坎特做的不止这些。他还猜想在0和C之间没有其他的无穷大，也就是0之后的下一个无穷大是C，也就是C = 1 (1是0之后的一个无穷大)，这就是著名的“连续统假说”。在1900年的世界数学家大会上，希尔伯特将这个问题列为20世纪需要解决的23个主要数学问题中的第一个。

6号数轴见！

至于数轴，我们都知道数轴上的点与实数一一对应。或许有这样一种想法:任意两个有理数之间有无数个有理数，有理数和有理数之间会有间隙，也就是无理数。我们不知道有多少差距，但两个有理数之间有无数个有理数是不可避免的。

所以有人会说有理数像砖块，构成数轴的主体，而无理数像胶水，补足砖块之间的缝隙，形成完整的数轴。

从两者的数量对比来看，很明显上面的思路都是湿的，无理数更像是构成数轴的砖块，占据了数轴的绝大部分。说白了，其实就是这样一个问题:有理数和无理数在数轴上是如何分布的？

借用狄利克雷函数:

这是把有理数和无理数分开。函数图像是什么样子的？也许是吧？

显然，这只能是一种美好的想象。要是我能画出来，我就知道有理数和无理数是怎么分布的了。这是存在但不能画出的函数。在数轴上看不到。

第七名:可数无限可加性

讲了很久的可数和不可数，但连数轴上的都分不开，这两个无穷大有什么区别？

有时候需要区分，比如解释长度是多少的时候。

线段由点组成，那么为什么点的长度是0，线段的长度不是0呢？

造成这种误解的主要原因是我们错误地认为，既然线段是由点组成的，那么线段的长度就等于点的长度之和。也就是不断计算0+0+0+0+0+...........................................................................................................................................................

如何计算0+0+0+0+...？首先将第二个0和第一个0相加，然后将第三个0和结果相加，然后一直相加。上面计算的前提是，这里涉及的无穷大必须是可数的。只有当它们首先被列出时，它们才能被依次添加，只有当它们是可数的时，它们才能被添加。

然而，问题是，线段上的点是可数的还是无限的？不，它们是不可数的，不能枚举，所以0+0+0+……的结果与线段的长度无关，因为它们之间没有因果关系。