几何级数的前N乘积(几何级数及其前N和)

昨天我们讲了等差数列及其前N项之和，那么今天我们继续讲解数列的另一个重要知识内容，即几何级数及其前N项之和。

几何级数可以说是系列的核心内容，自然也是高考必考的知识点之一。在高考数学中，与几何级数相关的主要考点有:几何级数的基本运算和通式；几何级数的性质；几何级数的前n和；几何级数等的综合应用。

几何级数和算术级数在定义上只有一个字的区别，它们的通式和性质有很多相似之处，其中算术级数中的“和”和“倍数”可以与几何级数中的“积”和“幂”相比较。

关注几何级数和算术级数的异同，有助于我们整体把握，同时也有利于类比的推广。对于等差级数项之和或几何级数项之积的运算，如果能注意通式An = f (n)下标n的大小关系，就可以简化题目的运算。

今天我就简单讲一下几何级数及其前N项和相关知识。

什么是几何级数？

一般来说，如果第二项的每一项与其前一项的比值等于同一个常数(不是零)，那么这个序列称为几何级数。这个常数叫做几何级数的公比，通常用字母Q表示，定义的表达式是an+1/an = q (n ∈ n *，Q为非零常数)。

有等差均值项，也有等比均值项。一般来说，如果a，g，b是几何级数，那么g叫做a，b的等均值，也就是g是a，b的等均值，a，g，b是几何级数G2 = ab。

从这里，我们可以看到几何级数有以下两个明显的特点:

1.根据几何级数的定义，几何级数的任何项都是非零的，公比q也是非零常数。

2.从an+1 = Qan，q≠0不能马上断言{an}是几何级数，还要验证a1≠0。

我们可以通过几何级数的概念和特征得到几何级数的判断方法:

1.定义:如果an+1/an = q (q为非零常数，n∈N*)或an/an-1 = q (q为非零常数，n≥2，n∈N*)，{an}为几何级数。

2.等比中值法:如果在数列{an}中，an≠0，an+12 = Anan+2 (n ∈ n *)，那么数列{an}就是几何级数。

3.通式法:如果级数的通式可以写成An = CQN (C，Q为常数不为零，n∈N*)，那么{an}就是几何级数。

同时，我们还需要掌握两个非常重要的几何级数公式:

1.通式:an = a1qn-1。

2.前n项及公式:sn = na1，q=1或sn = a1 (1-qn)/1-q=(a1-anq)/1-q，q≠1。

典型问题1:

用几何级数的前N项和Sn公式解决问题，要注意以下两个方面:

1.几何级数的前n项和Sn由位错减法得到。注意这种思想方法在级数求和中的应用。

2.应用几何级数的前N项和公式时，一定要注意对Q = 1和q≠1的分类讨论，防止因忽略Q = 1的特例而导致解题错误。

同时，我们应该记住几何级数{an}的一些常见性质:

1.在几何级数{an}中，如果m+n = p+q = 2r (m，N，p，q，r∈N*)，那么aman = apaq = ar2。

特别地，a1an = a2an-1 = a3an-2 =...

2.在具有公共比q的几何级数{an}中，序列am，am+k，am+2k，am+3k，...仍然是几何级数与共同的比率qk；

系列Sm，S2M-SM，S3m-S2m，…仍然是几何级数(此时Q≦-1)；an=amqn-m。

典型示例2:

几何级数基本量的运算是几何级数中的一个基本问题。数列中有五个量a1、N、Q、an、Sn，一般可以通过解方程(组)来求解。

使用几何级数的前n项和公式时，要按照公比Q进行分类讨论，切不可忽视Q的值，盲目使用求和公式。