二次函数的应用(不难但很重要，我一直喜欢考试)

让学生明白数学来源于生活，同时又服务和应用于生活，这是数学教育的核心目标和理念之一。中考和高考都是选拔人才的考试，必然会增加相应的应用能力试题。一方面可以在数学教学活动中起到指导作用，帮助学生培养和提高知识应用能力。另一方面可以起到很好的区分人才的作用。

与函数相关的实际应用问题一直是初中数学的核心内容，其中二次函数的应用问题是中考数学命题的热点话题之一，问题的设计和解法变化一直受到命题教师的高度关注。

纵观近几年，我们对二次函数在全国中考数学试题中的应用问题进行了分析和研究，可以帮助学生理解和掌握方法和技巧，正确掌握应对方法，提高数学成绩。

二次函数在日常生活中应用广泛，是学习二次函数的热点和难点。很多学生由于缺乏足够的知识和生活常识，无法将二次函数与生活实例相结合，将生活问题转化为数学问题，给学习二次函数的应用问题带来困难。

与二次函数相关的应用问题，典型例题分析1:

在一家电子计算器店，每台13元，价格20元，多买多打折；任何人一次购买10台以上计算器，每增加一台计算器将损失0.10元。比如有人买了20台计算器，每台计算器降价0.10 (20% 10) = 1(元)。所以20台计算器全部按每台19元计算，但最低价是每台16元。

(1)最低价格至少能买多少？

(2)写出专卖店销售x(一次)时利润y(元)与x(只)的函数关系，写出自变量x的取值范围；

(3)如果店主一次只卖10到50件，问一次卖多少件才能获得最大利润？它的最大利润是多少？

测试地点:

二次函数的应用；实际问题。

标题分析:

(1)一次只能以最低价格购买x。根据问题的含义列出关于x的一元线性方程，并得出解。

(2)根据购买的数量有不同的优惠方式，所以这个题目是分段函数，关注自变量的取值范围；

(3)列出关于购买次数的二次函数，找到它的最大值就足够了，可以通过匹配的方法或公式找到。

对问题解决的思考:

本题考查二次函数的应用，尤其是题中的分段函数，一定要注意自变量的取值范围。

二次函数相关应用问题，典型例题分析二:

为了改善市民的宜居环境，某小区规划建设一个文化广场(平面图如图所示)，其中四边形ABCD为长方形，直径为AB、BC、CD、DA为半圆。如果整个正方形的周长是628米，让长方形的边长AB = Y米，BC = X米。(注:take = 3.14)

(1)尝试用包含x的代数表达式来表示y；

(2)计划在长方形ABCD区域种植花草、铺鹅卵石，平均每平方米成本428元，在四个半圆形区域种植草坪、铺花岗岩，平均每平方米成本400元；

(1)设项目总成本为W元，求W关于X的函数关系；

(2)如果政府在本项目投资1000万元，能否完成本项目的建设任务？如果有，请列出设计方案；如果没有，请说明原因？

③本项目在政府投资1000万元的基础上，增加企业集资64.82万元，但要求矩形边BC长度不超过AB长度的三分之二，建设广场刚好用完所有资金。问:你能完成这个项目的建设任务吗？如果是，请列出所有可能的设计方案；如果没有，请说明原因。

测试地点:

二次函数的应用；工程问题。

标题分析:

(1)唤醒组合图，分割拼凑，用圆周长计算公式求解整理；

(2) (1)利用组合图形的特点，分别计算出种植花草和铺设鹅卵石的面积，进而进一步计算出项目的总成本。

②通过验证匹配法得到的最小值可以得出结论；

③通过建立不等式和二次方程，结合实际解答问题。

对问题解决的思考:

该问题利用基本的数量关系和组合图的面积列出二次函数，利用配点法求出最大值，结合不等式和一元二次方程进一步解决实际问题。

与二次函数相关的应用问题，典型实例分析3:

一家网店以每件60元的价格购买一批商品，如果以单价80元出售，每个月可以卖出300件。调查显示，单价每上涨1元，商品月销量就会减少10件。

(1)请写下月销售利润y(元)与单价增加x(元)的函数关系；

(2)当单价定在多少元时，每个月卖出商品的最大利润是多少？最大利润是多少？

解决方案:(1) Y = (80 < 60+x) (300 < 10x)，

=﹣10x2+100x+6000；

(2)y=﹣10x2+100x+6000，

=﹣10(x﹣5)2+6250，

∵a=﹣10<0，

∴当x=5时，y有一个最大值，而它的最大值是6250。

即当单价定在85元时，销售这种商品的月利润最大，最高利润为6250元。

测试地点:

二次函数的应用；实际问题。

标题分析:

(1)单价上涨x(元)，单价每上涨1元，商品的月销量就会减少10件，得到(300﹣10x)件的销量，每件的利润是(80-60+x)按照利润等于销售价格减去成本，那么每个月销售商品的利润y等于每件月销量的利润；

(2)公式将(1)中得到的函数关系，得到y = < 10 (x < 5) 2+6250，然后根据二次函数的最大值设定单价为多少元，卖出这种商品的月利润将最大。

对问题解决的思考:

本题考查如何利用二次函数的最大值来解决实际最大值或最小值问题:首先根据题意得到二次函数的关系，然后使之成为一个顶点，再根据二次函数的性质得到最大值。利润的概念也被审查。

与二次函数相关的应用问题，典型实例分析4:

小明开了一家网店，开展社会实践，计划分销产品A和B，如果每个产品A利润10元，每个产品B利润20元，每周可以销售40个产品A和20个产品B。经查，产品A、B零售单价分别降低1元，这两款产品每周可多销10款。为了增加销量，小明决定降低产品A和b的零售单价。

(1)直接写出A、B两种商品周销量Y(件)与降价x(元)的函数关系:Y A =，Y B =；

(2)找出小明每周销售两个商品A和B的利润总额w(元)与降价x(元)的函数关系？如果商品A的周销量不低于商品B销量的3/2，那么当X设定为多少元时，小明每周销售商品A和商品B的总利润能否最大化？

解决方法:(1)Y A = 10x+40；

y = 10x+20；

(2)从问题的含义来看，

W=(10﹣x)(10x+40)+(20﹣x)(10x+20)

=﹣20x2+240x+800，

10x+40≥3(10x+20)/2

得到解x≤2，

W=﹣20x2+240x+800

=﹣20(x﹣6)2+1520，

∵a=﹣20<0，

当x < 6时，y随着x的增大而增大，

∴当x=2时，w的值最大。

A:当X指定为2元时，小明每周销售商品A和B的利润总额可以最大化。

测试地点:

二次函数的应用。

标题分析:

(1)根据问题的含义，我们可以列出A、B两种商品的周销量y(件)与降价x(元)的函数关系；

(2)根据商品A的周销量不小于商品B销量的3/2，列出不等式求出x的取值范围，根据题意列出二次函数的解析公式，根据二次函数的性质求出对称轴的方程，得到答案。

对问题解决的思考:

本题考查二次函数的应用，正确列出二次函数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键。

学好数学，学好数学，让学生理解并应用数学知识解决现实生活中的问题。就像建立二次函数解决实际问题一样，这类问题设计新颖，求解灵活。学生可以阅读和检查问题，分析问题的含义，找出等价关系，建立函数模型，最终解决问题。

解决与二次函数相关的实际应用问题，是以二次函数的定义、形象和性质为基础的，因此必须掌握好相关的知识定理。