数学的起源(数学的起源及其发展)

数学是我们理解宇宙最有力的工具。但是它是如何起源的，又是如何发展的，仍然是个谜。

2017年去世的伊朗数学家马里亚姆·米尔扎哈尼是第一位获得数学最高奖菲尔兹奖的女性。她形容学习数学“就像迷失在丛林中，试图用所学的一切找到出路”。

虽然她只活了40岁，但应该说是幸运的。她在“数学丛林”中走得比大多数人都深，最终获得了数学的称号。

越来越多的证据表明，人类似乎是大自然的幸运儿，也是唯一能穿越“数学丛林”的动物。但是这种能力从何而来呢？为什么会发展？发展的目的是什么？……回答这些问题不仅涉及神经科学的一些热点话题，也迫使我们重新思考“数学是什么？”“数学是发现还是发明？”以及其他关于数学本质的问题。

数学的起源

通过“建模”与世界打交道

大自然是一个复杂、多变、危险的地方。栖息地的改变，捕食者的攻击和食物的缺乏...有机体的生存取决于它感知周围环境的能力。然而，野牛是否为了做出战斗/逃跑的决定而测量狮子的数量和大小；还是八哥在空时刻与邻居保持适当的距离，以保持队形；或者成群的羊沿着茂盛的水生植物的路径觅食...伦敦大学的神经科学家卡尔·弗里斯顿认为，所有这些活动都意味着做数学。

“因为数学简单、节俭、对称，如果你把它作为一门语言，它会比其他描述世界的方式更好。从海豚到黏菌，几乎所有的生命都可以从数学上理解这个世界，以便为自己的生存服务，”他说。

现在不是有很多“模特”比赛吗？对于一个复杂的过程，建立一个相对简单的数学模型，然后输入参数来查看不同条件下的运算结果。那么，Fliston的话实际上的意思是，任何形式的生命都需要“塑造”它的生存环境，才能发挥它的作用。

Fliston的观点可以追溯到20世纪70年代，当时控制论提出了一个原则:为了提供有效的控制，机器人必须首先建立其与环境相互作用的数学模型，然后才能采取相应的行动。此后，几乎所有关于人工智能的研究都遵循这一原则。今天，人类能够在人工智能领域取得如此巨大的成就，也是得益于这一原理。

既然机器人是通过“建模”与外界互动的，那么可以合理推测，生物在某种程度上也是通过“建模”与外界打交道的。

比如说。当野牛注意到狮子靠近时，它会本能地调动一种叫做“逃跑/战斗”的决策机制，根据自己对狮子大小、距离和力量的估计来决定是逃跑还是战斗。从功能上讲，这个决策机制可以看作是一个数学模型，输入狮子的大小、距离、自身力量等参数，输出“逃跑”或“战斗”的结果。任何参数变化都可能导致不同的输出结果。

培养准确的数字感，以纠正感官的偏差。

既然是数学模型，当然要简化现实，不可能面面俱到。尤其是对于生命来说，当危险逼近时，快速行动是主要的，精准退步是第二位的。例如，在上面提到的“逃跑/战斗”模型中，考虑这三个因素是差不多的。至于狮子的毛色，天空是否会下雨空等因素，我们可以忽略。如果考虑的因素太多，决策就会变慢，从而影响行动的速度。

正是我们对待世界的方式决定了我们感官中这种令人不满意的偏差的存在。

以反映心理学中心理量与物理量关系的韦伯-费希纳定律为例。这个定律说:我们区分两种感官差异的能力随着感官强度的增加而降低。比如用便携重物，可以很容易区分1公斤和2公斤，但区分21公斤和22公斤就没那么容易了。亮度、音量等辨别能力也是如此。

我们感到自豪的是，尽管人类和其他动物有相同的感官偏见，但人类已经发展了识别和纠正偏见的能力。最明显的是，我们发明了数字:这是一个符号系统，它允许我们立即判断(21和22)和(1和2)之间的区别是相同的。

你天生就有“数字意识”还是“数量意识”？

那么，这个工具是如何开发的呢？

长期以来，有一种观点认为，我们生来就有“数感”，就像我们生来就有色彩感一样。1997年，法国心理学家德阿纳提出一个假说，认为进化赋予了人类和其他动物一种“数字感”，即立即感知物体数量的本能。比如三颗红珠子能产生“3”的感觉，就像它们能产生“红”的感觉一样。

有很多证据支持这种本能的观点。麻省理工学院的心理学家发现，6个月大的婴儿可以区分8个点和16个点。

其他研究表明，人类本能地倾向于通过在空之间组成一条“数字线”来表示数字。比如我给你一串数字，请你写在纸上。虽然我没有告诉你怎么记，但即使你是左撇子，你还是会用左边小，右边大的方式记下这些数字。这是因为当你记住数字时，你会不自觉地在纸上发明一条“数字线”；在这条线上，数值应该按照从小到大的顺序从左到右排列。这是一种本能。

甚至有证据表明动物存在数字感知(参见“动物有数学本能吗？”)。

因此，根据本能理论，我们生来就有“数感”，然后把它当作“种子”。经过几千年的文明，我们有了今天这样一个庞大而复杂的数学体系。

但很快，一些研究人员对证据提出了质疑。他们说，比如婴儿能区分两个点阵，可能不是因为它们的数量不同，而是因为其他属性，比如空点阵的位置分布或覆盖面积等。这些线索涉及数量，而不是数量；虽然数量也与数字有关，但不太准确，但似乎更有可能被婴儿使用，因为它比数字更直观。比如两堆球，判断哪一堆多，哪一堆少，比说出每堆的具体数量更直观，更容易。

于是，一个不同的假设出现了:我们生来就没有“数量意识”，而是“数量意识”，即感知数量的能力(如大小、强度等)。)的事情。

对儿童进行更精确的测试似乎也支持了这一观点。比如，四岁以下的孩子不能理解五个橘子和五个西瓜有什么共同点——它们都是五个。对他们来说，五个西瓜只意味着比五个橘子更多的数量。

此外，即使教孩子数数，他们也不能立即传达数字的含义。只有比较“量”，他们才能掌握“数”的概念。难怪幼儿园老师用棍子、球等道具教孩子数数，或者加减。

准确的数量感是文明发展的产物。

如果我们接受后一种观点，那么我们以后就可以产生准确的数量感，发明数字来准确表达数量，这只能说是文明的产物。

文化对数的认知影响超出了我们的想象。以巴布亚新几内亚的尤普诺为例。虽然他们的语言并不原始，但它甚至没有“一个比另一个大或小”的表达。Yupno并不是唯一一个语言不强调数字的人。一项对189种澳大利亚土著语言的研究发现，其中四分之三的语言不包含代表大于3或4的数字的单词。

这意味着，我们今天大多数人所拥有的精确的数量感，在一定程度上是文明发展的产物，只有在农业、贸易等需要的时候才会出现。

即使在我们中间，对数的认知也深受职业、教育等文化因素的影响。2016年，研究人员扫描了15名职业数学家和15名非数学家的大脑。他们发现了一个参与数学思维的大脑区域；当数学家思考代数、几何和拓扑时，这个大脑区域就会被激活。但是当他们思考非数学问题时，这个大脑区域不会变得活跃。在其他学者看来，这个大脑区域是不活跃的，无论是思考数学问题还是非数学问题。

这一结果表明，教育和职业形成的习惯深刻地改变了数学家对数学的思考方式。文化的巨大影响由此可见一斑。

文化是什么时候把我们曾经模糊的本能(“数量感”)塑造成准确识别数字的能力(“数量感”)的？具体时间还不清楚。人类加工数字的最早证据来自南非雷邦博山脉的博德洞穴。在那里，考古学家发现了44000年前有缺口的骨头，包括刻有29个标记的狒狒腓骨。人类学家认为，，这些痕迹表明，这块骨头类似于原始人的“会计棒”，这是用来辅助计数的。说明当时人类已经学会了有意识地用符号来表达和操纵数字。

大约公元前4000年，美索不达米亚文明出现在底格里斯河-幼发拉底河流域(现在是伊拉克的一个地区)。在这个文明中，计数和测量达到了一个新的高度。这也离不开文明发展的需要。美索不达米亚人需要记录天文历法，测量土地面积，测量谷物收成甚至记录重量。然后，随着人类走向海洋或研究天空空，我们开始发展导航和天文观测所需的数学。即使在现代，商业的需求仍然在推动数学的发展。例如，一些最复杂的数学是为华尔街的股票和债券交易开发的。

阅读:动物有数学本能吗？

关于人类是否生来就有“数字感”的争论，往往会让持肯定意见的人转向动物寻求支持。如果我们的远亲能够表现出一定的数学能力，就意味着我们自己的对数感也一定先于文化的发展。

事实证明，一些动物个体在数字感知方面表现出非凡的天赋。亚历克斯是一只训练有素的非洲灰鹦鹉，80%的时间能正确识别2到6个物体。日本灵长类动物学家训练出来的黑猩猩艾也能做到这一点。

但也有人认为这些动物没有数字的象征意义。相反，他们要经过上千次的训练，才能通过联想学会数字。这和训练动物做它们在野外做不到的事情没什么区别。比如在自然状态下，让一头大象单腿戴着滑稽的帽子站在凳子上是不可思议的，但训练后做这样的事情也就不足为奇了。

然而，越来越多的证据表明，动物在自然状态下也能表现出“计数”的能力。20世纪90年代初，人们观察到狮子可以区分一只狮子和三只狮子的吼声。在2017年2月的一次会议上，研究人员还报告说，一些青蛙在择偶时听到竞争青蛙的叫声时，会在叫声数量上与竞争对手竞争。

这些发现表明，动物确实有一种接近“数睡眠”的本能。换句话说，这种本能是人类和许多其他动物共有的。

数学的本质在下一部分

“数学是自然的语言”

今天的，人类已经构建了一个巨大的数学金字塔。在过去的5000年左右的时间里，数学扩展到了一个更加抽象的领域，这似乎进一步脱离了对周围现实世界和普通人的理解。

然而，我们对宇宙的秘密了解得越多，数学上的新发明就越能描述这些秘密。例如，当戴维·希尔伯特开发了一个高度抽象的代数来处理无限维，而不是熟悉的空三维时，没有人能预见到这个代数可以应用于量子力学。但很快就证明了希尔伯特的数学——所谓的“希尔伯特空房间”——是我们理解神秘量子世界的关键。

数学和物理之间这种无处不在的联系，让我们想起了几个世纪前伽利略说过的“数学是自然的语言”。数学几乎是当今从事自然科学研究的人们必不可少的工具。就连长期抵制数学的生物学也在慢慢屈服:人们见证了数学在基因组学或神经科学中的广泛应用。比如DNA双螺旋结构的发现，就离不开一个叫做傅立叶分析的数学工具。神经生物学越来越依赖数学学科，如拓扑学和图论。

数学本身的辉煌成就及其在现实中无处不在的应用，导致一些人产生了“自大”的看法:数学就是一切，一切就是数学；宇宙是一个数学结构，它只有数学性质。这种观点呼应了古希腊毕达哥拉斯学派“万物皆数，数是万物之源”的神秘思想。

是数学发现还是发明？

历史上，人们曾问“数学是发明还是发现？”发生了激烈的争论。按照“数学就是一切”的观点，数学显然是“发现”而不是“发明”，因为它已经存在于那里，而我们所做的一切都是发现。

但事情可能没那么简单:当被问及“数学是被发明还是被发现的？”有时候，人们往往有一个先入为主的前提，好像它们是相互排斥的。如果你发明了它，你就不会发现它，等等。但这不是非此即彼的命题。

想一想古希腊数学家欧几里德编写的《几何的要素》，它汇集了古希腊所有的数学知识，编制了一系列的几何定律。欧几里德把他的工作建立在一系列公理之上。这些公理既不能证明，也不能证伪。我们只能说它们是“发明”出来的。最著名的是平行线公理:两条平行线永不相交。随着时间的推移，从这些公理中衍生出了许多规则和关系，并被后人证明为定理。从某种意义上说，他们“发现”了欧几里得几何景观。

但是几千年后，一些数学家决定用新的公理来发现新的几何王国。这些新公理与欧几里得公理相矛盾。例如，以德国数学家黎曼命名的黎曼几何，显然依赖于“平行线可以相交”的思想。这个非正统的起点将我们引向一个广阔的数学世界，爱因斯坦曾用它来阐述他的广义相对论。

数学能解释它的起源吗？

然而，无论我们从哪一套公理出发，数学可能都不是我们想象中的完整的思想体系。为此，我们归功于奥地利逻辑学家哥德尔的不完全性定理所提供的洞察力。哥德尔证明了在任何形式的公理和定理体系中，都有一些既不能证明对也不能证明错的陈述。换句话说，数学可以问一些问题，但它永远不能回答它们。比如欧几里得几何中的“平行线永不相交”，欧几里得几何体系本身无法提供证明。我们只能说，“让我们假设它是正确的，让我们看看结果会是什么……”

在这种情况下，说数学是普遍真理可能还为时过早。因为真理是对的，你不能说“假设它是对的”(比如上帝存在，他就存在，不存在，他就不存在，你不能说“假设他存在”)。再者，人类迄今为止建立的数学体系，可能只是“数学丛林”的一个小角落。谁能保证它代表整个宇宙？

目前，意识是否可以完全用数学来描述，是数学面临的一个非常大的挑战。我们知道，数学本身就是人类意识的产物。现在，反过来，我们必须用它来解释意识，这意味着我们必须用数学来解释我们自己的起源。有能力吗？如果你能解释，那就算了；如果你不能，你会有大麻烦的。既然连数学这种自然的语言都无法解释意识，那么意识还能解释什么呢？或者反过来，它迫使我们问:“数学真的是自然的语言吗？”