微积分基本定理(通俗演义中微积分基本定理和公式的推导)如何求曲线X和直线x=0，x=10和X轴围成的面积？

1.近似暴力法:先除再和。

即把不规则图形分成N个小的规则图形(梯形或矩形)，计算出N个小的规则图形的面积，加起来近似整体面积。

如果是这样一个领域，测量员要测量会怎么做？通常用三角形来近似。测量一个底为10，高约70的三角形，面积约为350。

如果将区间[0，10]划分为10个单元，每个单元的长度dx为1，在每个单元[ti，tj]取点I(等于ti+0.5)和各dy=(ti+0.5)，则整个区域划分为10个矩形:

单元间求和的形式是:

=0.5+1.5+2.5+3.5+4.5+5.5+6.5+7.5+8.5+9.5=332.5

2极限或无限方法

引用极限或无穷大的概念，如果上面的dx→0(n→∞)，我取每个单元格之间的右端点:

有

当n→∞，上述= 1000/3

3定积分法

也可以用定积分的形式表示:

Dx代表自变量在区间[0，10]内的分化，xdx代表整个区域的分化，符号∫是英文“sum”的首字母“S”的拉长，代表区域分化的积累。

我们来讨论一般情况下定积分的近似计算。

如果函数f(x)在区间[a，b]内是连续的，那么存在以下定积分。

我们把区间[a，b]分成n个等长的单元。

每个单元格的长度是dx=(b-a)/n，如果在每个单元格之间选择I，则有

(上限无限分割或定积分的方法可能找不到极限值。)

4定积分变上限积分的面积函数

以上定积分计算出来的是具体值(注意“定”字)，不是一般的函数表达式。我们需要研究一般规律的函数关系表达式(没有符号∫，这样我们就可以通过代入直接找到它，而不是每次都限制)。能不能找到一个关于X的面积函数，即任意值的曲线X和直线X与X轴围成的面积函数？如果你给出X的值，你就可以得到面积。

这种面积函数的积分表达式可以表示为:

面积F(x)如何用不带∫号的表达式表示？可以认为F(x)肯定与曲线函数x有关。

我们可以考虑X曲线外y=f(t)的一般情况，面积函数为A(x)，如下图所示:

关键是找出F(x)或A(x)的一般表达式，它是积分表达式的代换。从积分表达式可以看出，它与面积微分f(t)dx或f(x)dx有关。是什么关系？

5从面积函数的变量上限积分到面积函数的一般表达式

当积分上限为x时，在此基础上，自变量x与面积函数微分，自变量x增加一个最小值h(dt):

上图中浅红色阴影部分在H很小时几乎是一个小竖条，所以竖条的面积可以通过计算矩形面积来估算，它的底边是从X到x+h，高度是从0到f(x)，所以面积是h*f(t)，即:

表达式hf(x)是面积函数f(x)的微分，函数的微分/自变量的微分称为微信业务，也叫导数函数或导数，用F’(x)表示。在某些情况下，导数形式比微分形式更简洁，微划分也可以通过导数迂回的方式获得。上述公式可推导如下:

这样，曲线函数f(x)的逆导数就是面积函数F(x)，这是微积分的基本定理。

黑色部分的面积可以表示为:F(x)-F(a)，这是微积分的基本公式。

函数的导数是函数的因变量相对于自变量的变化速度，即“变化率”。它可以用来求函数的最大值，曲线在某一点切线的斜率，变速运动的瞬时速度。

导数引入了无穷小和极限的概念，但可以从近似表达式中去掉无穷小和极限的符号，使表达式更简洁，如:

类似的

回到下面的公式:

x的逆导数是1/3x，所以上面要计算的面积是:f (10)-f (0) = 1000/3。

当然，如果要求曲线X和直线x=5围成的面积，x=10和X轴:F(10)-F(5)= 1000/3-125/3 = 875/3 = 291.6。

6.从变速直线运动中的距离函数和速度函数看导数和积分的关系。

让物体沿直线以可变速度运动。在时间t，距离函数是s(t)，速度函数是v(t)。然后，在时间段[T1，T2]内，根据定积分的定义，物体经过的距离为

另一方面，s也可以用距离函数s (T)的增量s = s (T2)-s(t1)来表示，这样就有了关系式。

因为s' (t) = v(t)，即距离函数是速度函数v(t)的逆导数，所以定积分由无穷求和变为差分。

例如v(t)=t(8-t)

从(t (8-t))' = 8-2t = 0发现，当t=4m时，物体的最大速度为16m/s，V∏[0，16]，时间[0，8]，距离s应小于16*8=128m。

S(t)=F(t)=∫(t(8-t)dt=4t-1/3t

上式中符号∫表示不定积分，表达式∫(t(8-t)dt表示函数t(8-t)的逆导数或不定积分。

s = 4t-1/3t = 4 * 8-1/3 * 8 = 85.33米