有一个流行的故事，著名数学家高斯有一个懒惰的老师。所谓的老师想让孩子们忙起来，这样他就可以小睡一会儿，于是他让全班同学计算数字1，然后加到100。

高斯回答他:5050。它非常快。老师怀疑作弊。当然，高斯没有！手动将1加到100是笨拙的，高斯找到了一个公式来避免这个问题:

让我们分享一些关于这个结果的解释，并以直观的方式真正理解它。对于这些例子，我们将1加10，然后看看它如何应用于1到100(或1到任何数字)。

1.技术:配对号码

配对号码是解决这个问题的常用方法。不要将所有数字都写在一列中，而是将它们换行，如下所示:

1 2 3 4 5

10 9 8 7 6

一个有趣的模式出现了:每列的总和是11。随着上一行数字的增加和下一行数字的减少，每一列的总和保持不变。

因为1和10(我们的n)配对，可以说每一列都有(n+1)。我们有几双？我们有两个相等的行，我们有n/2对。

这是上面高斯的公式。

奇数项呢？

啊，我很高兴你提起这件事。如果我们把数字1加到9会怎么样？我们甚至没有匹配的项目。

让我们把数字1加到9，而不是从1开始，让我们从0开始计数:

0 1 2 3 4

9 8 7 6 5

通过从0开始计数，我们得到一个“额外项目”(总共10个)，因此我们可以得到偶数行。然而，我们的公式看起来会有所不同。

注意，由于0和9被组合在一起，所以每列的总和是N(而不是N+1)；和以前一样)；我们在2行中有n +1个项目，总计(n+1)/ 2对(而不是正好在2行中有n个项目，总计n/2对)。如果您插入这些数字，您将获得:

和之前的公式一样！同样的公式对奇数和偶数都有效！

2.技术:使用两条线

上面的方法是有效的，但是你处理奇数和偶数的方式不同，所以需要分别处理。有没有更好的办法？是的。

让我们把它们写成两行，而不是绕过去:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

请注意，我们有10双。每对加起来是10+1，每列之和是11。

上面所有数字的总和是

但是我们只要一行的和，不要两行。所以我们把上面的公式除以2，得到:

现在很酷(像数字线一样酷)。它适用于奇数或偶数个相同的项目！

方法3:制作一个矩形

这是解释旧配对的新方法。不同的解释对不同的人更有效，我倾向于这种解释。假设我们用beans(用x表示)代替写数字。我们想把一个豆子加到两到三个豆子里……一直加到五个豆子里。

当然，我们可以选择10个或100个豆子，但5个豆子就可以了。我们如何计算三角形中豆子的数量？

嗯，总数显然是1+2+3+4 +5。但是让我们从不同的角度来看。假设我们镜像三角形(我将使用“O”作为镜像bean)，然后翻转它:

酷吧。变成一个矩阵团队。看看矩阵的最后一行。它有五个X和一个O，前一行减少了一个X(总共4个)，增加了一个O(总共2个)。就像配对一样，一边在增加，另一边在减少。

现在解释一下:我们总共有多少颗豆子？这是矩形的面积。

我们有n行(我们没有改变矩形的行数)，我们集合的宽度是(n+1)个单位，因为一个“O”与所有“X”配对。

请注意，这次我们不管n是奇数还是偶数，总面积的公式是一样的。如果n为奇数，则每行的项数为偶数(n+1)。

但是我们当然不要总面积(X和O的数量)，而只要X的数量，既然我们双X得到O，那么X本身只占总面积的一半:

我们回到了最初的公式。同样，三角形中x的个数= 1+2+3+4+5，或者1到n的和。

4.技术:一般

我们都知道

平均值=总数/数量

我们可以把它改写成

总计=平均值*数字

那么，让我们计算一下总和。如果我们有100个数字(1…100)，那么显然我们有100个项目。

要得到平均值，请注意所有数字都是平均分布的。每一个大数字，另一端都有一个小数字。我们来看一集:

1 2 3

平均值为2。2已经在中间，1和3“抵消”，所以它们的平均值是2。

对于偶数个项目

1 2 3 4

2到3之间的平均值是2.5。

注意，在这两种情况下，平均值最左边是1，最右边是n，因此，我们可以说，整个集合的平均值实际上只是1和n的平均值:(1+n)/ 2。

把它放在我们的公式里。

你看！我们有第四种方式来思考我们的公式。

为什么有用？

三个原因:

1)快速添加数字可能对预测有用。

请注意，该公式扩展到:

1加1000。假设你每天增加一个粉丝访问你的网站。1000天后你总共会有多少访客？由于1000的平方等于100万，我们将得到100万/2+1000/2 = 50万次访问。

2)这种1加n的概念出现在其他地方，比如有可能发现。牢牢掌握这个公式将有助于你从多方面理解。

3)最重要的是，这个例子展示了许多理解公式的方法。也许你喜欢配对法，也许你更喜欢矩形手法，或者有另一种适合你的解释。当你不明白的时候不要放弃——试着找到另一种可能的解释。