导数的几何意义(导数的定义及其几何意义)大家好，我是大专数学硕士。这次我们来讨论导数的定义及其几何意义，与连续性的关系，函数的导数规则。你知道导数的定义，它的几何意义，它与连续性的关系，函数的导数规律吗？没关系。学霸是来帮你的。

在讨论导数之前，让我们看两个例子:

直线运动的速度①取时间t0到t的时间价格，其间质点从S0=f(t0)运动到s = f(t)；(s-s0)/t-t0=f(t)-f(t0)/t-t0，粒子的平均速度。②瞬时速度v = lim的切线问题((f (t))-(f (t0))/(t-t0)) (t→ t0)在曲线C和C上有一点M，在点M之外取C上的另一点N作为割线MN。当N点沿着曲线C逼近M点时，如果MN围绕M点旋转并逼近极限MT，则直线MT称为曲线C在M点的切线。

tan =(y-y0)/(x-x0)=(f(x)-f(x0))/(x-x0)

斜率k=lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)(x→x0)

一、导数的定义

让函数y=f(x)在点x0的某个域中定义。当自变量x在x0处(点x0+δx仍在此邻域内)得到增量δx时，相应地，因变量得到增量δy = f(x0+δx)-f(x0)；如果△x→0时存在△y与△x之比的极限，那么函数y=f(x)在点x0可导，这个极限在函数y=f(x)的点x0可导，这个极限就是函数y=f(x)在点x0的导数，叫做f’(x0)。

还能记得

二、导数的几何意义

曲线在点(x0，y0)的切线方程:

曲线在点(x0，y0)的法线方程:

注:曲线切线方程的斜率与曲线法线方程的斜率互为负倒数。

第三，函数的可微性和连续性之间的关系

设函数y=f(x)在点x处可导，即

存在。从函数与极限和无穷小的关系

其中，当△x→0时，无穷小为，上式两边乘以△x。

当△x→0，△y→0。函数yy=f(x)在点X处是连续的..因此，如果函数y=f(x)在x点是可导的，那么函数在该点一定是连续的。

第四，函数的导数规则

①函数和、差、积、商的求导规则

和与差:(u v)' = u v '

注:分别求和与差的导数，再求和与差的导数。

乘积:(uv)=u' v+u v '，(Cu)'=C u'(C为常数)

简:一个产品的导数是一个先行导数后面跟一个先行导数后面跟一个先行导数后面跟一个先行导数后面跟一个先行导数(前者指产品中的第一个因子，后者指产品中的第二个因子)。

商:(U/V)' = (U' V-U V')/V2 (V不等于0)

简:商的导数是次导数的导数，次导数的导数，次导数的导数，次导数的导数，次导数的导数，次导数的导数，次导数的导数，次导数的导数，次导数的导数，次导数的导数，次导数的导数，次导数的导数，除以分母的平方。

②反函数的求导规则

如果函数x=f(y)是单调的并且在区间I和f '(x)≠0内可导，那么它的反函数也可以在反函数的区间内可导，并且

记者:反函数的导数等于原函数导数的倒数。

③复合函数的求导规则

如果u=g(x)在点x可导，y=f(u)在点u=g(x)可导，那么复合函数y=f[g(x)]在点x可导，其导数为

记者:复合函数的导数等于一层一层取内导数，然后相乘。

例如(sin nx)'= n cos nx

④常用的导数公式

(1)( C )'=0

(2)(x^u)'=u x^(u-1)

(3)(sin x)'= cos x

(4) (cos x)'=-sin x

⑸(谭x)' = sec(^2 x

⑹(科特·x)'=-csc(^2)x

(7)(秒x)' =秒x tanx

(8)(csc x)'=-csc x cot x

(9)(a^x)'=(a^x)

(10)(e^x)'=e^x

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

别怕，学霸是来帮你的。这些有一些公式可以帮助你记住:

公式:

通常为零，掉电，倒数，

指不变，由过剩变过剩，由过剩变正，

切方，切乘切，逆分式。

公式的含义:

常数的导数为零。

幂函数的导数是指数减一，原始指数作为系数。

对数函数的导数是倒数。

的指数导数是常数，乘以。

正弦函数变为余弦函数，余弦函数变为正弦函数。

切线和余切的导数分别是割线和余切的平方。

割线和余切的导数分别是割线乘以切线和余切乘以余切。

反三角函数的导数都是分数。

第五，高阶导数

一般来说，函数y = f(X)y’= f’(X)的导数仍然是X的函数..我们称y'=f'(x)的导数为函数y=f(x)的二阶导数，并记录为y ' '或

F'(x)称为f(x)的一阶导数。一阶导数是二阶导数，二阶导数是三阶导数。

..一般将(n-1)阶导数的导数称为N阶导数。

你，你，你，y^(4。。。。。。y^(n)

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