一、概念描述

现代数学:平均分为算术平均、加权平均、几何平均、调和平均、指数平均和平方平均等。小学数学常用的平均值是算术平均值和加权平均值，这是统计学的基本概念。因为它们常用于计算样品的浓度趋势，所以也分别称为样品算术平均值(值)和样品加权算术平均值(值)。

小学数学:小学数学教材中没有明确给出平均数的定义。过程定义主要由“总份数除以总份数得到的结果为平均值”来确定。重点是让学生掌握计算平均值的方法，结合实际问题进行分析，感受平均值的价值。

二.概念解释

(1)平均值、中值和模式

平均值在数据分析过程中起着重要作用，与中位数和众数密切相关。日常学习和生活中处理的数据大多是对称数据，且数据符合或接近正态分布，所以均值、中位数、众数是相同的。如果数据有偏差，三者就会不同。

平均值容易受到极端数据的影响，但与中值和模式相比，平均值可以更多地利用所有数据信息。此外，还有一个原因:假设X和Y的平均值为A，可以用中学知识证明A是X和Y的平方和最小的实数，即(x-a)2+(y-a)2≤(y-b)2(a≠b)对于任意实数。这说明平均值可以最小化平方和，也就是说用平均值来表示数据可以最小化二次损失。通过使用中值和模式，可以将主要损失(绝对误差值之和)降至最低。

(2)算术平均和加权平均

过去，小学数学把算术平均称为“简单平均”，加权平均称为“比较复杂的平均”。小学阶段，权重主要指数据出现的频率。如果一组数据中的每个数据只出现一次，即每个数据具有相同的重要性，则计算结果为算术平均值。所谓加权平均，是指每个数据的“点数”。

数量”是不同的，有的更重要，有的更轻，它们的重要性是用权重来表示的，也就是说，如果一组数据中的每个数据出现不止一次，那么计算出来的平均值就是加权平均值。例如:

(1)每公斤太妃糖15元，每公斤水果糖10元，每公斤巧克力糖20元，和1kg三种糖混合在一起，平均每公斤多少钱？

(15+10+20)3=15(元)

由于每颗糖都是1kg，只需要简单的求和除以总质量，结果就是算术平均值。

②每公斤太妃糖15元，每公斤水果糖10元，每公斤巧克力糖20元，把2公斤太妃糖，3公斤水果糖，5公斤巧克力糖混合在一起，平均每公斤多少钱？

(15x2+10x3+20x5)(2+3+5)=16(元)

由于每种糖的比例不同，在计算平均值时要考虑，所以用这种方法计算出来的结果就是加权平均值。

三.教学建议

平均分是小学数学中的教学内容。新课改明确“平均”不再是简单应用题的类型之一，而是“作为一种统计”。因此，在传统教学中计算强案例平均数意义的基础上，教师应进一步突出概念意义和统计意义。

(1)体验生成平均值的过程，感受平均值的作用。

作为一个重要的统计学，如何让学生认识到它在统计学中的作用？在讲授“平均分”课时，吴正宪老师巧妙地运用了学生最喜欢的游戏形式——拍球游戏，来调动生活经验的游戏规则，而学生们却“不公平！”它否定了根据人数与球拍总数的不同来决定输赢的方法。“对此我能做些什么？”在吴老师的追问下，一个胖乎乎的小男孩站了起来，伸出双臂，结结巴巴地说:“我们把这里的数字平均一下，看几眼就可以对比一下。”吴老师对这个小男孩充满了钦佩。是的，一个“平或平”就产生了平均数。

(2)通过具体数据分析，加深对平均值概念含义的理解。

平均数本身不能孤立存在，要加强原始数据与平均数的沟通，通过建立联系让学生感受平均数的特点，从而加深对概念意义的理解。以下经典案例也出现在吴正宪的课堂上:

“前三次，萧红和梁肖平均每人打了一个循环？怎么算？”(如下表所示)很多同学把总命中数除以出手数，也有同学想出了一个办法来弥补更多。吴老师评价:“这个方法真的很好。我们一下子就能看出，平均值确实能代表这些数据的水平！”吴老师继续提问:“小红第四次出手命中7环，第四次出手命中10环。第四次出手后，会不会影响前三次的平均分？”经过一系列的思考，学生觉得加一条数据会对原来的平均值产生影响，觉得平均值和一组数据中的每个数据都有关系。

(3)结合有具体问题的情况，客观认识平均值的统计意义。

统计与生活息息相关。用平均数分析问题时，要与生活密切相关，突出平均数的统计意义。在《平均》一课中，王杰老师设计了这样一个问题:周一到周五的高峰时段，通过一号桥的车辆平均为1756辆，通过二号桥的车辆为965辆(两座桥的跨度条件差不多)，那么哪条路行驶起来会更顺畅呢？为什么呢？学生们对此有不同的看法，并开始争论。最后，王小姐总结说，平均值可以作为参考，但它只反映了一般情况，而不是一些特殊情况。在这个过程中，学生不仅能体会到平均值的意义，还能体会到数据的随机性。

四.推荐阅读

(1)《小学数学研究》(张奠宙等著，高等教育出版社，2009)

这本书的第220-222页讨论了加权平均的功能和价值，以及加权平均和算术平均之间的联系和区别。

(2)儿童数学教育(周、杨，北京师范大学出版社，2010)

本书有些案例生动具体，本条目引用的案例主要来源于本书。

(3)回归平均值的统计意义(曹佩英，小学数学教师，2011年第7-8期)

本文从平均值的历史回顾、实践检验、新的设计关注点等几个角度进行了详细的介绍。，这对广大一线教师具有一定的指导意义。