我们听到的许多迷人的神话可能始于一个真实的故事，这个故事确实发生在历史的某个时刻。然而，在代代相传的故事中，却一点一点地披上了传奇色彩，一点一点地留下了真相。神话总能在人们的脑海中生存和进化，也许是因为它在某种程度上承载了一些隐藏的真理，能够满足人类的一些精神需求。

以逻辑严谨著称的数学，看似与神话背道而驰，但有时，一些数学真理会以“神话”的形式进入大众意识，而不被理解和复述。今天我们要讲的是数学中的一个“神话”——黄金比例(golden ratio)。

黄金比例是多少？

黄金比例是一个神奇的常数，我们通常用希腊字母来表示。它出现在很多文艺作品中，比如小说和电影《达芬奇密码》中就提到了这个神秘的数字。之所以神秘，是因为与数学中的许多其他概念相比，这个数字确实有更多的“神话”:它被许多作家描述为自然界所有美丽图案的基础和神圣的比例；它也被称为许多艺术作品和建筑的设计基础，如希腊的帕台农神庙和埃及的金字塔。

黄金比例最早出现在欧几里德的《几何元素》一书中，欧几里德将其定义为:

那么，多少钱？我们知道a/b =和(a+b)/a =，所以上图中的等式可以变成:

通过求解这个方程，我们可以得到:

因为必须大于1，所以我们取= 1.61803…是无理数，这不难理解，因为根数5是无理数，也就是不能写成两个整数之比的数。这是黄金比例的一个非常重要的性质。

一维黄金比例也可以扩展到所谓的黄金矩形。我们可以按照以下步骤画出一个金色的矩形:

1.首先画一个边长为A的正方形；2.然后取正方形一边(如底边)的中点:画一个以中点为中心，中点到与对面相连的顶点的距离为半径的圆；3.延伸底边，使其与圆弧相交，得到的交点就是黄金矩形的一个角。

除了黄金矩形，黄金比例还有另一个可爱的几何表达，那就是边长为1的正五边形的对角线长度。(读者可以尝试用余弦定理来检验一下！)

如上图所示，对角线和底线形成的边长为1，，的等腰三角形BAD称为金三角，在五重对称的研究中经常出现。例如，五角星由五个金色三角形组成:

事实上，定义黄金比例的方法有很多。一个非常著名的例子是斐波那契数列:

这个序列中的下一项是前两项之和，是斐波那契提出的一种理解兔子种群增长的方法，对理解种群增长有重要作用。

这个系列和黄金比例有什么关系？第一个发现这个惊人秘密的人是约翰尼斯·开普勒。他注意到，如果取这个序列中每两个相连数的比值(后一个比前一个好)，得到的比值可以形成一个级数:

而这个级数最终会收敛到一个熟悉的数字——1.618……这个级数的极限就是黄金比例。

黄金比例的不合理性让我们看到了在黄金矩形中可以无限循环的斐波那契数列的比例。

“神化”的黄金比例

黄金分割率是一个有趣的数字，它有许多奇怪的性质和许多有用的应用。这些奇特的性质引起了一些数学家的注意。然而，对于公众来说，这些房产却意外地被提升到了一个不合适的位置。

在数学家眼里，有很多重要的常数，比如√2——它是边长为1的正方形的对角线长度，也是一张A4纸的长宽比。实际上，几何中1，√2，√3的频率远高于。