从小学到高中，我们学了12年的数学，叫做初等数学。大学以后的微积分叫高等数学。初等数学和高等数学到底是什么？他们之间有什么联系？面对数学难题，有哪些思路可以让我们“一步一个脚印”？中科院林群院士、张景中院士将为您揭开数学的神秘面纱！

从小学到高中，我们学了12年的数学，叫做初等数学。大学以后的微积分叫高等数学。

初等数学大致是什么？著名数学家华在1979年留下了一个视频，他回答了这个问题。

他说数学就是数字和形状。出现的第一个数字是12345；后来用减法，出现了负数；然后是除法，然后是分数。许多“数”有一个通称:有理数。

有理数有一个特殊的性质:有理数加有理数或有理数，有理数减有理数或有理数，有理数乘有理数或有理数。也就是说，当一个有理数遇到另一个有理数时，结果就是一个有理数，不考虑加减乘除。有理数除以有理数怎么样？只有一个结果是不合理的，那就是除以0。简而言之，有理数本身就是自封的加减乘除。

有理数够吗？不够！比如根数2不能是有理数，说明有理数是不完整的。所以整个“数”系统，给它一个定义，叫做实数系统。实数系也有这个性质，就是自封为加减乘除。

然而，实数系统是否完整？尚未完成。比如在解方程的过程中，可能没有实根，但是有一个虚根，所以除了实根之外还有一个数，叫做复数。也自诩为复数的加减乘除。

从此以后，任何一批数字或抽象的东西，如果能定义加减乘除，而且是自封的，就称为高等数学中的定义域。

最后是面积，包括矩形、三角形、多边形和圆形的面积。

以上是华对初等数学的总结。罗庚是中国最有知识的数学家。他总是顾全大局，对初等数学(提炼)谈得那么少，这让我们对学习数学更有信心。

但是华没有具体讲高等数学(微积分)。

微积分呢？还是说面积？如果我们仍然把一般的图形(如有曲边的梯形)分割成许多矩形，不仅需要大量的计算，而且在分割时还会有遗漏，这是不得已而为之。

牛顿不是这么做的。他们一开始不要求面积，只要求瞬时速度，只看一瞬间。但是在某个时刻，时间和距离等于0:

怎么做？我们给出了一个算法:

公式1

也就是说，平均速度和瞬时速度之间的差异随着时间成比例地减小。因此，在短时间内，速度变化不大，平均速度代替瞬时速度。

尤其是时间接近零时，平均速度接近瞬时速度，所以想都别想。

注意，我们关心的是时间趋近于零时的极限。现在，我们用公式(1)求极限，避免无穷小！

因此，公式(1)可以改写为

|距离-瞬时速度时间的倍数|≤(时间段)

其中，瞬时速度时间可视为瞬时速度中的面积(相当于变成矩形)。那么，距离就是面积的近似值(时间的平方)，所以很容易证明两者是一样的:距离=速度图的面积。

把它写成微积分:

二维面积变成一维高度，俗称:油饼面积变得比油条高。

通俗地说，就像计算一个缠绕的油饼的面积。不必把油饼切成“无限”小油条，也不必把这些“无限”小油条的面积相加，使油饼的面积等于另一个油条的高度，简单来说就是:油饼的面积=油条的高度。

最初，数亿次的计算并不准确。现在，一个计算就能准确得出。