如何计算方差(样本方差和总体方差)Best边肖带大家一探究竟。

如何计算方差(样本方差和总体方差)。

1.方差:随机变量或一组数据离散程度的度量。
在概率论中，方差用来衡量随机变量与其数学期望(即均值)之间的偏离程度。

统计中的方差(样本方差)是每个样本值之间的差值的平方值与所有样本值的平均值的平均值。

概率论中的方差表示:

样本方差，无偏估计，无偏方差。对于一组随机变量，从其中随机选择n个样本，这组样本的方差是Xi^2平方和除以N-1。

最佳网络

总体方差，也叫有偏估计，其实就是我们初中学的标准定义的方差，除数是n.
方差在统计学中的表示:

其次，为什么样本方差的分母是n-1？为什么叫无偏估计？
简单的答案是因为你用了n个数的平均值来估计平均值。寻求方差时，只有(n-1)个数字与均值信息无关。

而你的第n个数可以由之前的(n-1)个数和平均值唯一确定，但实际上没有信息。因此，在计算方差时，只除以(n-1)。

更严格的证明呢？

方差计算公式中的分母是n-1，以便使方差估计无偏。

无偏估计量优于有偏估计量，比较直观，虽然有些统计学家认为最小均方误差(MSE)更有意义，所以这里就不讨论这个问题了。最佳网络

不直观的是，为什么分母必须是n-1而不是n，才能使估计无偏。

首先，我们假设随机变量的数学期望已知，但方差未知。在这种情况下，根据方差的定义，我们有。

这可从最佳网络获得。

这个结果很直观，数学上也很明显。现在，我们考虑随机变量
III。理论推导
为了叙述方便，这里解释一下数学符号:

我前面说过，样本方差应该除以(n-1)的原因是这样的方差估计量是总体方差的无偏估计量。根据公式，样本方差估计的期望值应等于总体方差。如下所示:

但没有修正的方差公式，其期望不等于总体方差。

也就是说，如果用没有修正的方差公式来估计总方差，则样本方差估计量是有偏差的。

下面是一个众所周知的公式推导过程:

也就是说，除非。

否则，一定有。

需要注意的是，不等式的右边是方差的“正确”估计，但我们不知道真正的总体均值是什么，所以只能用样本均值来代替总体均值。

因此，如果样本方差估计器使用未修正的方差公式来估计总方差，将会有偏差，低估总体样本方差。为了无偏差地估计总体方差，方差的计算公式应修正如下:

这一修订估计数将是对总体方差的无偏估计，这一修订的来源将在下文中给出。

为了理解这种修正是如何发生的，我们必须首先有以下等式:

1.方差计算公式:

2。均值和均值方差的计算公式:

对于未修正的方差计算公式，我们有: